整式思维导图

# 《整式思维导图》

## I. 整式的基本概念

*   **定义：**
    *   单项式和多项式的统称。
    *   特点：只含有加、减、乘、乘方运算，或者虽含有除法运算，但除式中不含字母的代数式。
*   **单项式：**
    *   **定义：** 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
    *   **系数：** 单项式中的数字因数（包括前面的符号）。
        *   注意：当系数为1或-1时，通常省略不写。
    *   **次数：** 单项式中所有字母的指数的和。
        *   注意：常数的次数为0。
    *   **例如：** `3x`, `-5xy^2`, `a`, `π`
*   **多项式：**
    *   **定义：** 几个单项式的和叫做多项式。
    *   **项：** 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
        *   注意：项包括它前面的符号。
    *   **常数项：** 不含字母的项。
    *   **次数：** 多项式中次数最高的项的次数。
    *   **例如：** `x^2 + 2x - 1`, `ab + bc + ca`
*   **同类项：**
    *   **定义：** 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
    *   **合并同类项：** 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
        *   **法则：** 系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
        *   **依据：** 乘法分配律。
    *   **目的：** 简化多项式。

## II. 整式的运算

*   **幂的运算：**
    *   **同底数幂的乘法：** `a^m * a^n = a^(m+n)`
    *   **幂的乘方：** `(a^m)^n = a^(mn)`
    *   **积的乘方：** `(ab)^n = a^n * b^n`
    *   **同底数幂的除法：** `a^m / a^n = a^(m-n)` (a≠0)
    *   **零指数幂：** `a^0 = 1` (a≠0)
    *   **负指数幂：** `a^(-p) = 1/a^p` (a≠0)
*   **整式的加减：**
    *   **本质：** 合并同类项。
    *   **步骤：**
        *   去括号（注意括号前的符号）。
        *   合并同类项。
*   **整式的乘法：**
    *   **单项式乘以单项式：** 系数相乘，相同字母的幂相加，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
    *   **单项式乘以多项式：** 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
        *   `a(b+c) = ab + ac`
    *   **多项式乘以多项式：** 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
        *   `(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd`
*   **整式的除法：**
    *   **单项式除以单项式：** 系数相除，相同字母的幂相减，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
    *   **多项式除以单项式：** 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

## III. 乘法公式

*   **平方差公式：** `(a+b)(a-b) = a^2 - b^2`
    *   **特点：** 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
    *   **应用：** 简化计算，因式分解。
*   **完全平方公式：** `(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2` 和 `(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`
    *   **特点：** 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
    *   **应用：** 简化计算，因式分解。
*   **立方和/差公式（了解）：**
    *   `(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3`
    *   `(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3`

## IV. 因式分解

*   **定义：** 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
*   **方法：**
    *   **提公因式法：**
        *   找出各项的公因式（系数的最大公约数，各项都含有的字母的最低次幂）。
        *   将公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式。
    *   **公式法：**
        *   运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
    *   **分组分解法：**
        *   将多项式适当分组，使分组后能提取公因式或运用公式。
    *   **十字相乘法（二次三项式）：**
        *   适用于形如`ax^2 + bx + c`的二次三项式。
        *   找到两个数p,q，使得p+q=b, p*q=ac，则多项式可以分解为(x+p/a)(x+q/a)
*   **意义：**
    *   化简计算。
    *   解方程。
    *   解决几何问题。

## V. 易错点

*   系数为1或-1时，1通常省略不写。
*   常数项的次数是0。
*   多项式的项要包括前面的符号。
*   注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减。
*   平方差公式和完全平方公式的逆用，注意符号。
*   因式分解要分解到不能再分解为止。

## VI. 应用

*   **代数式求值：** 先化简代数式，再代入求值。
*   **几何问题：** 利用整式表示几何图形的面积、体积等。
*   **规律探索：** 通过观察数字或图形的变化，用整式表示其中的规律。
*   **解决实际问题：** 用整式建立数学模型，解决生活中的实际问题。

# 《整式思维导图》 ## I. 整式的基本概念 * **定义：** * 单项式和多项式的统称。 * 特点：只含有加、减、乘、乘方运算，或者虽含有除法运算，但除式中不含字母的代数式。 * **单项式：** * **定义：** 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 * **系数：** 单项式中的数字因数（包括前面的符号）。 * 注意：当系数为1或-1时，通常省略不写。 * **次数：** 单项式中所有字母的指数的和。 * 注意：常数的次数为0。 * **例如：** `3x`, `-5xy^2`, `a`, `π` * **多项式：** * **定义：** 几个单项式的和叫做多项式。 * **项：** 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 * 注意：项包括它前面的符号。 * **常数项：** 不含字母的项。 * **次数：** 多项式中次数最高的项的次数。 * **例如：** `x^2 + 2x - 1`, `ab + bc + ca` * **同类项：** * **定义：** 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 * **合并同类项：** 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 * **法则：** 系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 * **依据：** 乘法分配律。 * **目的：** 简化多项式。 ## II. 整式的运算 * **幂的运算：** * **同底数幂的乘法：** `a^m * a^n = a^(m+n)` * **幂的乘方：** `(a^m)^n = a^(mn)` * **积的乘方：** `(ab)^n = a^n * b^n` * **同底数幂的除法：** `a^m / a^n = a^(m-n)` (a≠0) * **零指数幂：** `a^0 = 1` (a≠0) * **负指数幂：** `a^(-p) = 1/a^p` (a≠0) * **整式的加减：** * **本质：** 合并同类项。 * **步骤：** * 去括号（注意括号前的符号）。 * 合并同类项。 * **整式的乘法：** * **单项式乘以单项式：** 系数相乘，相同字母的幂相加，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 * **单项式乘以多项式：** 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 * `a(b+c) = ab + ac` * **多项式乘以多项式：** 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 * `(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd` * **整式的除法：** * **单项式除以单项式：** 系数相除，相同字母的幂相减，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 * **多项式除以单项式：** 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 ## III. 乘法公式 * **平方差公式：** `(a+b)(a-b) = a^2 - b^2` * **特点：** 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 * **应用：** 简化计算，因式分解。 * **完全平方公式：** `(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2` 和 `(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2` * **特点：** 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 * **应用：** 简化计算，因式分解。 * **立方和/差公式（了解）：** * `(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3` * `(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3` ## IV. 因式分解 * **定义：** 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 * **方法：** * **提公因式法：** * 找出各项的公因式（系数的最大公约数，各项都含有的字母的最低次幂）。 * 将公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式。 * **公式法：** * 运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。 * **分组分解法：** * 将多项式适当分组，使分组后能提取公因式或运用公式。 * **十字相乘法（二次三项式）：** * 适用于形如`ax^2 + bx + c`的二次三项式。 * 找到两个数p,q，使得p+q=b, p*q=ac，则多项式可以分解为(x+p/a)(x+q/a) * **意义：** * 化简计算。 * 解方程。 * 解决几何问题。 ## V. 易错点 * 系数为1或-1时，1通常省略不写。 * 常数项的次数是0。 * 多项式的项要包括前面的符号。 * 注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减。 * 平方差公式和完全平方公式的逆用，注意符号。 * 因式分解要分解到不能再分解为止。 ## VI. 应用 * **代数式求值：** 先化简代数式，再代入求值。 * **几何问题：** 利用整式表示几何图形的面积、体积等。 * **规律探索：** 通过观察数字或图形的变化，用整式表示其中的规律。 * **解决实际问题：** 用整式建立数学模型，解决生活中的实际问题。

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