整式思维导图
《整式思维导图》
I. 整式的基本概念
- 定义：
- 单项式和多项式的统称。
- 特点：只含有加、减、乘、乘方运算，或者虽含有除法运算，但除式中不含字母的代数式。
- 单项式：
- 定义： 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
- 系数： 单项式中的数字因数（包括前面的符号）。
- 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
- 例如：
3x, -5xy^2, a, π
- 多项式：
- 定义： 几个单项式的和叫做多项式。
- 项： 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
- 常数项： 不含字母的项。
- 次数： 多项式中次数最高的项的次数。
- 例如：
x^2 + 2x - 1, ab + bc + ca
- 同类项：
- 定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
- 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
- 法则： 系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 依据： 乘法分配律。
- 目的： 简化多项式。
II. 整式的运算
- 幂的运算：
- 同底数幂的乘法：
a^m * a^n = a^(m+n)
- 幂的乘方：
(a^m)^n = a^(mn)
- 积的乘方：
(ab)^n = a^n * b^n
- 同底数幂的除法：
a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0)
- 零指数幂：
a^0 = 1 (a≠0)
- 负指数幂：
a^(-p) = 1/a^p (a≠0)
- 整式的加减：
- 整式的乘法：
- 单项式乘以单项式： 系数相乘，相同字母的幂相加，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
- 单项式乘以多项式： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 多项式乘以多项式： 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
- 整式的除法：
- 单项式除以单项式： 系数相除，相同字母的幂相减，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
- 多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
III. 乘法公式
- 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
- 特点： 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
- 应用： 简化计算，因式分解。
- 完全平方公式：
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- 特点： 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
- 应用： 简化计算，因式分解。
- 立方和/差公式（了解）：
(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3
IV. 因式分解
- 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
- 方法：
- 提公因式法：
- 找出各项的公因式（系数的最大公约数，各项都含有的字母的最低次幂）。
- 将公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式。
- 公式法：
- 分组分解法：
- 将多项式适当分组，使分组后能提取公因式或运用公式。
- 十字相乘法（二次三项式）：
- 适用于形如
ax^2 + bx + c的二次三项式。
- 找到两个数p,q，使得p+q=b, p*q=ac，则多项式可以分解为(x+p/a)(x+q/a)
- 意义：
V. 易错点
- 系数为1或-1时，1通常省略不写。
- 常数项的次数是0。
- 多项式的项要包括前面的符号。
- 注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减。
- 平方差公式和完全平方公式的逆用，注意符号。
- 因式分解要分解到不能再分解为止。
VI. 应用
- 代数式求值： 先化简代数式，再代入求值。
- 几何问题： 利用整式表示几何图形的面积、体积等。
- 规律探索： 通过观察数字或图形的变化，用整式表示其中的规律。
- 解决实际问题： 用整式建立数学模型，解决生活中的实际问题。
