整数的乘除思维导图
# 《整数的乘除思维导图》
## I. 乘法
### A. 乘法的意义
* **定义：** 求几个相同加数的和的简便运算。
* **要素：**
* 乘数：表示相同加数的个数。
* 被乘数：表示相同加数的值。
* 积：表示乘法运算的结果。
* **模型：**
* 重复加法模型：n个a相加 = a × n。
* 面积模型：长方形面积 = 长 × 宽。
* 组合模型：排列组合问题 (简化)。
### B. 乘法运算定律
* **交换律：**
* 定义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
* 公式：a × b = b × a
* 应用：简化计算，验算乘法。
* **结合律：**
* 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
* 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
* 应用：寻找能凑成整十、整百、整千的数，简化计算。
* **分配律：**
* 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
* 公式：(a + b) × c = a × c + b × c
* 公式逆用：a × c + b × c = (a + b) × c
* 变形：(a - b) × c = a × c - b × c
* 应用：复杂计算，提取公因数。
### C. 乘法竖式计算
* **一位数乘多位数：**
* 步骤：
1. 从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
2. 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
* 注意：对齐数位，处理进位。
* **多位数乘多位数：**
* 步骤：
1. 用第二个乘数的个位、十位、百位… 依次去乘第一个乘数。
2. 用第二个乘数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和第二个乘数的这一位对齐。
3. 把几次乘得的数加起来。
* 注意：数位对齐，处理进位和进位叠加。
* 特殊情况：乘数末尾有0的处理 (末尾0的个数)。
### D. 估算
* **策略：**
* 四舍五入法：将乘数和被乘数都估算成与它们接近的整十、整百数。
* 根据实际情况灵活选择估算方法：向上估算，向下估算。
* **应用：**
* 判断计算结果的合理性。
* 解决实际问题，如判断物品数量是否够用。
### E. 乘法与倍数关系
* **定义：** 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数。
* **寻找倍数：** 一个数的倍数有无数个。
* **与因数的关系：** 乘法和除法是互逆运算，乘法中的乘数和被乘数是积的因数。
## II. 除法
### A. 除法的意义
* **定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
* **要素：**
* 被除数：表示总数。
* 除数：表示平均分的份数或每份的数量。
* 商：表示每份的数量或可以分的份数。
* 余数：表示分完后剩余的数量。
* **两种情况：**
* 平均分：将总数平均分成若干份，求每份是多少。
* 包含除：已知总数和每份的数量，求可以分成多少份。
* **模型：**
* 分物模型：把物品平均分配。
* 测量模型：用一个长度测量另一个长度，看包含多少个。
### B. 除法运算性质
* **商不变的性质：** 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
* 公式：(a × n) ÷ (b × n) = a ÷ b (n ≠ 0)
* 公式：(a ÷ n) ÷ (b ÷ n) = a ÷ b (n ≠ 0)
* 应用：简化计算，如将被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，使除数变为整数。
* **除法的分配律 (限制条件)：** (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (a, b都能被c整除时才成立)
* 例子：(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7
* 注意：a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c
### C. 除法竖式计算
* **一位数除多位数：**
* 步骤：
1. 从被除数的高位除起。
2. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
3. 每次除得的余数必须比除数小。
* 注意：商的数位，余数的处理。
* **多位数除多位数：**
* 步骤：
1. 先用除数试除被除数的前几位。
2. 如果前几位比除数小，就要多看一位，直到够除为止。
3. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
4. 每次除得的余数必须比除数小。
* 注意：试商 (偏大偏小)，商的数位，余数的处理。
* 特殊情况：除数末尾有0的处理 (末尾0的个数)。
* **有余数的除法：**
* 关系式：被除数 = 除数 × 商 + 余数
* 余数要小于除数。
### D. 估算
* **策略：**
* 将除数和被除数都估算成与它们接近的整十、整百数，并使估算后的除法能够快速计算。
* 利用乘法口诀进行估算。
* **应用：**
* 判断计算结果的合理性。
* 解决实际问题，如判断是否够分。
### E. 除法与因数关系
* **定义：** 如果一个数能被另一个数整除，那么另一个数是这个数的因数。
* **寻找因数：**
* 从1开始，用除法逐个尝试。
* 找到一对因数后，可以根据乘法关系找到其他因数。
* **与倍数的关系：** 乘法和除法是互逆运算，除法中的除数和商是被除数的因数。
### F. 整数乘除混合运算
* **运算顺序：**
* 只有乘除法的，从左往右依次计算。
* 既有乘法又有除法的，也是从左往右依次计算。
* 有括号的，先算括号里面的。
* **简便计算：**
* 结合乘法和除法的运算定律和性质，灵活运用，简化计算过程。
### G. 解决问题
* **分析数量关系：** 找出题目中的已知条件和所求问题，分析它们之间的数量关系。
* **列式计算：** 根据数量关系，列出相应的算式。
* **检验：** 检查计算结果是否合理，是否符合题意。
## III. 进阶思考
* **乘法和除法的互逆关系：** 理解乘法和除法互为逆运算，可以用于验算和解决问题。
* **应用题的灵活运用：** 将乘法和除法的知识应用于各种实际问题中，提高解决问题的能力。
* **数论基础：** 掌握因数、倍数、质数、合数等概念，为学习更高级的数论知识打下基础。
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