《整数的乘除思维导图》

I. 乘法

A. 乘法的意义

• 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 要素：
  • 乘数：表示相同加数的个数。
  • 被乘数：表示相同加数的值。
  • 积：表示乘法运算的结果。
• 模型：
  • 重复加法模型：n个a相加 = a × n。
  • 面积模型：长方形面积 = 长 × 宽。
  • 组合模型：排列组合问题 (简化)。

B. 乘法运算定律

• 交换律：
  • 定义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
  • 公式：a × b = b × a
  • 应用：简化计算，验算乘法。
• 结合律：
  • 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
  • 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 应用：寻找能凑成整十、整百、整千的数，简化计算。
• 分配律：
  • 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
  • 公式：(a + b) × c = a × c + b × c
  • 公式逆用：a × c + b × c = (a + b) × c
  • 变形：(a - b) × c = a × c - b × c
  • 应用：复杂计算，提取公因数。

C. 乘法竖式计算

• 一位数乘多位数：
  • 步骤：
    1. 从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
    2. 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
  • 注意：对齐数位，处理进位。
• 多位数乘多位数：
  • 步骤：
    1. 用第二个乘数的个位、十位、百位… 依次去乘第一个乘数。
    2. 用第二个乘数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和第二个乘数的这一位对齐。
    3. 把几次乘得的数加起来。
  • 注意：数位对齐，处理进位和进位叠加。
  • 特殊情况：乘数末尾有0的处理 (末尾0的个数)。

D. 估算

• 策略：
  • 四舍五入法：将乘数和被乘数都估算成与它们接近的整十、整百数。
  • 根据实际情况灵活选择估算方法：向上估算，向下估算。
• 应用：
  • 判断计算结果的合理性。
  • 解决实际问题，如判断物品数量是否够用。

E. 乘法与倍数关系

• 定义： 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数。
• 寻找倍数： 一个数的倍数有无数个。
• 与因数的关系： 乘法和除法是互逆运算，乘法中的乘数和被乘数是积的因数。

II. 除法

A. 除法的意义

• 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 要素：
  • 被除数：表示总数。
  • 除数：表示平均分的份数或每份的数量。
  • 商：表示每份的数量或可以分的份数。
  • 余数：表示分完后剩余的数量。
• 两种情况：
  • 平均分：将总数平均分成若干份，求每份是多少。
  • 包含除：已知总数和每份的数量，求可以分成多少份。
• 模型：
  • 分物模型：把物品平均分配。
  • 测量模型：用一个长度测量另一个长度，看包含多少个。

B. 除法运算性质

• 商不变的性质： 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
  • 公式：(a × n) ÷ (b × n) = a ÷ b (n ≠ 0)
  • 公式：(a ÷ n) ÷ (b ÷ n) = a ÷ b (n ≠ 0)
  • 应用：简化计算，如将被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，使除数变为整数。
• 除法的分配律 (限制条件)： (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (a, b都能被c整除时才成立)
  • 例子：(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7
  • 注意：a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c

C. 除法竖式计算

• 一位数除多位数：
  • 步骤：
    1. 从被除数的高位除起。
    2. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
    3. 每次除得的余数必须比除数小。
  • 注意：商的数位，余数的处理。
• 多位数除多位数：
  • 步骤：
    1. 先用除数试除被除数的前几位。
    2. 如果前几位比除数小，就要多看一位，直到够除为止。
    3. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
    4. 每次除得的余数必须比除数小。
  • 注意：试商 (偏大偏小)，商的数位，余数的处理。
  • 特殊情况：除数末尾有0的处理 (末尾0的个数)。
• 有余数的除法：
  • 关系式：被除数 = 除数 × 商 + 余数
  • 余数要小于除数。

D. 估算

• 策略：
  • 将除数和被除数都估算成与它们接近的整十、整百数，并使估算后的除法能够快速计算。
  • 利用乘法口诀进行估算。
• 应用：
  • 判断计算结果的合理性。
  • 解决实际问题，如判断是否够分。

E. 除法与因数关系

• 定义： 如果一个数能被另一个数整除，那么另一个数是这个数的因数。
• 寻找因数：
  • 从1开始，用除法逐个尝试。
  • 找到一对因数后，可以根据乘法关系找到其他因数。
• 与倍数的关系： 乘法和除法是互逆运算，除法中的除数和商是被除数的因数。

F. 整数乘除混合运算

• 运算顺序：
  • 只有乘除法的，从左往右依次计算。
  • 既有乘法又有除法的，也是从左往右依次计算。
  • 有括号的，先算括号里面的。
• 简便计算：
  • 结合乘法和除法的运算定律和性质，灵活运用，简化计算过程。

G. 解决问题

• 分析数量关系： 找出题目中的已知条件和所求问题，分析它们之间的数量关系。
• 列式计算： 根据数量关系，列出相应的算式。
• 检验： 检查计算结果是否合理，是否符合题意。

III. 进阶思考

• 乘法和除法的互逆关系： 理解乘法和除法互为逆运算，可以用于验算和解决问题。
• 应用题的灵活运用： 将乘法和除法的知识应用于各种实际问题中，提高解决问题的能力。
• 数论基础： 掌握因数、倍数、质数、合数等概念，为学习更高级的数论知识打下基础。

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