《数的整除知识点整理思维导图》
一、整除的概念
1.1 定义
- 整数a除以整数b（b≠0），商为整数且余数为0，则称a能被b整除，记作 b|a。
- b是a的因数（或约数），a是b的倍数。
1.2 注意事项
- 必须是整数之间的运算。
- 除数不能为0。
- 整除是指余数为0的除法。
二、因数与倍数
2.1 因数
- 定义：若 b|a，则b是a的因数。
- 寻找因数：用试除法，从小到大依次尝试，直到试除数大于a的平方根。
- 因数的个数：有限个。
- 1是任何整数的因数。
- 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
2.2 倍数
- 定义：若 b|a，则a是b的倍数。
- 寻找倍数：从本身开始，依次乘以正整数。
- 倍数的个数：无限个。
- 一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
- 0是任何非零整数的倍数。
三、2、3、5 的倍数特征
3.1 2 的倍数
- 特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
- 偶数：能被2整除的数。
- 奇数：不能被2整除的数。
3.2 5 的倍数
- 特征：个位数字是0或5的整数。
3.3 3 的倍数
- 特征：各位数字之和是3的倍数。
- 判断方法：将各位数字相加，如果和是3的倍数，则原数是3的倍数。
3.4 综合应用
- 既是2的倍数又是5的倍数：个位数字是0。
- 同时判断：先判断是否符合一个条件，再判断是否符合另一个条件。
四、质数与合数
4.1 质数
- 定义：只有1和它本身两个因数的整数。
- 注意：1既不是质数也不是合数。
- 最小的质数是2。
- 2是唯一的偶数质数。
4.2 合数
- 定义：除了1和它本身以外，还有其他因数的整数。
- 最小的合数是4。
4.3 1 的特殊性
- 1既不是质数，也不是合数。
4.4 质因数
- 定义：一个数的因数是质数，那么这个因数叫做这个数的质因数。
4.5 分解质因数
- 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
- 方法：短除法。
- 应用：求最大公因数和最小公倍数。
五、公因数与最大公因数
5.1 公因数
- 定义：几个数共有的因数，叫做它们的公因数。
- 求公因数：先分别找出每个数的因数，然后找出它们共有的因数。
5.2 最大公因数 (GCD)
- 定义：几个数公有的因数中，最大的一个，叫做它们的最大公因数。
- 表示方法：(a, b) 表示a和b的最大公因数。
- 求最大公因数的方法：
- 列举法：列出每个数的因数，找出公因数，然后找出最大的公因数。（适合较小数字）
- 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出它们共有的质因数，将这些质因数相乘。（适合较大数字）
- 短除法：用公有的质因数依次去除这些数，直到所得的商互质为止，然后将所有的除数相乘。
- 互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。（相邻的两个自然数一定是互质数；两个质数一定是互质数；1和任何自然数互质）
- 如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1。
- 如果两个数中，较小的数是较大的数的因数，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
六、公倍数与最小公倍数
6.1 公倍数
- 定义：几个数共有的倍数，叫做它们的公倍数。
- 求公倍数：先分别找出每个数的倍数，然后找出它们共有的倍数。
6.2 最小公倍数 (LCM)
- 定义：几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数。
- 表示方法：[a, b] 表示a和b的最小公倍数。
- 求最小公倍数的方法：
- 列举法：列出每个数的倍数，找出公倍数，然后找出最小的公倍数。（适合较小数字）
- 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出它们所有的质因数，相同的质因数取指数最大的，然后将这些质因数相乘。（适合较大数字）
- 短除法：用公有的质因数依次去除这些数，直到所得的商互质为止，然后将所有的除数和最后的商相乘。
- 如果两个数互质，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
- 如果两个数中，较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
七、最大公因数与最小公倍数的关系
7.1 公式
- 两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数，即 a × b = (a, b) × [a, b]
7.2 应用
- 已知最大公因数和最小公倍数，求另一个数。
- 已知两个数和一个数的最大公因数或最小公倍数，求另一个数。
八、总结
8.1 重要概念
- 整除，因数，倍数，质数，合数，公因数，最大公因数，公倍数，最小公倍数。
8.2 常用方法
- 试除法，分解质因数法，短除法。
8.3 应用
- 解决实际问题，例如：分组，分堆，计算等等。
8.4 易错点
- 1 的特殊性，0 的特殊性。
- 质数和奇数，合数和偶数的区分。
- 最大公因数和最小公倍数的计算方法。
- 互质数的概念。