整数乘除思维导图

# 《整数乘除思维导图》

## I. 整数乘法

### A. 基本概念

1.  **乘法的定义：** 相同加数的简便运算，求几个相同加数的和的运算。
2.  **乘法算式构成：** 乘数 × 乘数 = 积。
3.  **乘法的意义：**
    *   求几个相同加数的和是多少。
    *   求一个数的几倍是多少。
4.  **乘法的性质：**
    *   **交换律：** a × b = b × a
    *   **结合律：** (a × b) × c = a × (b × c)
    *   **分配律：** (a + b) × c = a × c + b × c
    *   **任何数乘0等于0：** a × 0 = 0
    *   **任何数乘1等于本身：** a × 1 = a

### B. 乘法运算方法

1.  **口算乘法：**
    *   一位数乘一位数：九九乘法表。
    *   两位数乘一位数（简单）：拆分法，例如12×3 = (10×3) + (2×3) = 30 + 6 = 36
    *   整十、整百数乘一位数：先计算非零部分的乘法，再补0。例如30×4=120， 300×4=1200
2.  **笔算乘法：**
    *   **一位数乘多位数：** 从个位开始，依次与多位数的每一位进行乘法运算，注意进位。
    *   **两位数乘多位数：**
        *   用两位数的个位乘以多位数，得到第一部分积。
        *   用两位数的十位乘以多位数，得到第二部分积（注意末尾要对齐十位）。
        *   将两部分积相加，得到最终结果。
    *   **三位数乘多位数：** 与两位数乘多位数类似，注意百位对齐相应位置。
3.  **估算乘法：**
    *   将乘数近似为整十、整百数，进行计算。
    *   适用于不需要精确结果的场景。

### C. 乘法应用

1.  **解决实际问题：**
    *   总价 = 单价 × 数量
    *   路程 = 速度 × 时间
    *   面积 = 长 × 宽 (长方形)
2.  **乘法与加法的结合：** 解决复杂的实际问题，需要将乘法和加法结合使用。
3.  **乘法巧算：** 利用乘法运算定律简化计算。例如，25 × 16 = 25 × (4 × 4) = (25 × 4) × 4 = 100 × 4 = 400

## II. 整数除法

### A. 基本概念

1.  **除法的定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。
2.  **除法算式构成：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 (余数可以为0)
3.  **除法的意义：**
    *   平均分：将一个整体平均分成若干份，求每份是多少。
    *   包含除：求一个数里包含多少个另一个数。
4.  **除法的性质：**
    *   **除数不能为0：**  任何数除以0没有意义。
    *   **被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变：** (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b  (c ≠ 0)
    *   **a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) **

### B. 除法运算方法

1.  **口算除法：**
    *   一位数除两位数（简单）：例如36 ÷ 3 = (30 ÷ 3) + (6 ÷ 3) = 10 + 2 = 12
    *   整十、整百数除以一位数：先计算非零部分的除法，再补0。例如60 ÷ 2=30， 600 ÷ 2=300
    *   利用乘法口诀进行计算
2.  **笔算除法：**
    *   **一位数除多位数：** 从最高位开始，依次向下除，每次除得的商写在相应位置上，余数与下一位合起来继续除。
    *   **两位数除多位数：**
        *   先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就看前三位。
        *   确定商的位置，尝试商的大小。
        *   计算商与除数的乘积，看是否小于等于被除数。
        *   将乘积从被除数中减去，得到余数。
        *   将余数与被除数的下一位合起来，继续除。
        *   注意：如果不够除，商0占位。
    *   **三位数除多位数：** 步骤与两位数除多位数类似。
3.  **估算除法：**
    *   将被除数和除数近似为整十、整百数，进行计算。
    *   适用于不需要精确结果的场景。

### C. 除法应用

1.  **解决实际问题：**
    *   单价 = 总价 ÷ 数量
    *   速度 = 路程 ÷ 时间
    *   份数 = 总数 ÷ 每份数
2.  **除法与减法的结合：** 解决复杂的实际问题，例如连续减去多个相同数，可以用除法简化计算。
3.  **余数问题：**
    *   理解余数的意义，余数一定要小于除数。
    *   解决与周期性相关的实际问题。

## III. 乘除混合运算

### A. 运算顺序

1.  **没有括号：** 从左到右依次计算。
2.  **有括号：** 先算括号里面的，再算括号外面的。
3.  **只有乘除法时，遵循从左到右的顺序**

### B. 应用

1.  **解决复杂的实际问题：** 需要灵活运用乘法和除法，结合运算顺序进行计算。
2.  **灵活选择算法：** 可以利用乘法分配律等运算定律简化计算。
3.  **验算：** 通过逆运算进行验算，检查计算结果的正确性。 例如，乘法用除法验算，除法用乘法验算。

## IV. 特殊数值的乘除法

### A. 乘以或除以10, 100, 1000…

*   **乘以10, 100, 1000…：** 在数的末尾添加相应个数的0。
*   **除以10, 100, 1000…：** 去掉末尾相应个数的0 (如果是小数，小数点左移相应位数)。

### B. 乘以或除以5, 25

*   **乘以5：** 乘以10 除以 2 ( ×5 = ×10 ÷ 2)
*   **除以5：** 乘以 2 除以 10 ( ÷5 = ×2 ÷ 10)
*   **乘以25：** 乘以100 除以 4 ( ×25 = ×100 ÷ 4)
*   **除以25：** 乘以 4 除以 100 ( ÷25 = ×4 ÷ 100)

## V. 易错点

1.  **忘记进位或退位：** 在笔算乘除法时，容易忘记进位或退位。
2.  **商中间或末尾有0的情况：** 在除法中，如果不够除，要在商的位置上写0占位。
3.  **运算顺序错误：** 没有按照正确的运算顺序进行计算。
4.  **余数大于或等于除数：** 要检查余数是否小于除数，如果余数大于或等于除数，说明商小了。
5.  **估算不准确：** 估算时，近似的数值要合理，避免误差过大。

## VI. 总结

掌握整数乘除法的概念、运算方法和应用，能够提高数学计算能力和解决实际问题的能力。 重要的是理解其本质，熟练运用各种技巧，并且在练习中不断总结和提高。 勤加练习，形成良好的计算习惯， 避免粗心大意，是学好整数乘除法的关键。

# 《整数乘除思维导图》 ## I. 整数乘法 ### A. 基本概念 1. **乘法的定义：** 相同加数的简便运算，求几个相同加数的和的运算。 2. **乘法算式构成：** 乘数 × 乘数 = 积。 3. **乘法的意义：** * 求几个相同加数的和是多少。 * 求一个数的几倍是多少。 4. **乘法的性质：** * **交换律：** a × b = b × a * **结合律：** (a × b) × c = a × (b × c) * **分配律：** (a + b) × c = a × c + b × c * **任何数乘0等于0：** a × 0 = 0 * **任何数乘1等于本身：** a × 1 = a ### B. 乘法运算方法 1. **口算乘法：** * 一位数乘一位数：九九乘法表。 * 两位数乘一位数（简单）：拆分法，例如12×3 = (10×3) + (2×3) = 30 + 6 = 36 * 整十、整百数乘一位数：先计算非零部分的乘法，再补0。例如30×4=120， 300×4=1200 2. **笔算乘法：** * **一位数乘多位数：** 从个位开始，依次与多位数的每一位进行乘法运算，注意进位。 * **两位数乘多位数：** * 用两位数的个位乘以多位数，得到第一部分积。 * 用两位数的十位乘以多位数，得到第二部分积（注意末尾要对齐十位）。 * 将两部分积相加，得到最终结果。 * **三位数乘多位数：** 与两位数乘多位数类似，注意百位对齐相应位置。 3. **估算乘法：** * 将乘数近似为整十、整百数，进行计算。 * 适用于不需要精确结果的场景。 ### C. 乘法应用 1. **解决实际问题：** * 总价 = 单价 × 数量 * 路程 = 速度 × 时间 * 面积 = 长 × 宽 (长方形) 2. **乘法与加法的结合：** 解决复杂的实际问题，需要将乘法和加法结合使用。 3. **乘法巧算：** 利用乘法运算定律简化计算。例如，25 × 16 = 25 × (4 × 4) = (25 × 4) × 4 = 100 × 4 = 400 ## II. 整数除法 ### A. 基本概念 1. **除法的定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。 2. **除法算式构成：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 (余数可以为0) 3. **除法的意义：** * 平均分：将一个整体平均分成若干份，求每份是多少。 * 包含除：求一个数里包含多少个另一个数。 4. **除法的性质：** * **除数不能为0：** 任何数除以0没有意义。 * **被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变：** (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0) * **a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) ** ### B. 除法运算方法 1. **口算除法：** * 一位数除两位数（简单）：例如36 ÷ 3 = (30 ÷ 3) + (6 ÷ 3) = 10 + 2 = 12 * 整十、整百数除以一位数：先计算非零部分的除法，再补0。例如60 ÷ 2=30， 600 ÷ 2=300 * 利用乘法口诀进行计算 2. **笔算除法：** * **一位数除多位数：** 从最高位开始，依次向下除，每次除得的商写在相应位置上，余数与下一位合起来继续除。 * **两位数除多位数：** * 先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就看前三位。 * 确定商的位置，尝试商的大小。 * 计算商与除数的乘积，看是否小于等于被除数。 * 将乘积从被除数中减去，得到余数。 * 将余数与被除数的下一位合起来，继续除。 * 注意：如果不够除，商0占位。 * **三位数除多位数：** 步骤与两位数除多位数类似。 3. **估算除法：** * 将被除数和除数近似为整十、整百数，进行计算。 * 适用于不需要精确结果的场景。 ### C. 除法应用 1. **解决实际问题：** * 单价 = 总价 ÷ 数量 * 速度 = 路程 ÷ 时间 * 份数 = 总数 ÷ 每份数 2. **除法与减法的结合：** 解决复杂的实际问题，例如连续减去多个相同数，可以用除法简化计算。 3. **余数问题：** * 理解余数的意义，余数一定要小于除数。 * 解决与周期性相关的实际问题。 ## III. 乘除混合运算 ### A. 运算顺序 1. **没有括号：** 从左到右依次计算。 2. **有括号：** 先算括号里面的，再算括号外面的。 3. **只有乘除法时，遵循从左到右的顺序** ### B. 应用 1. **解决复杂的实际问题：** 需要灵活运用乘法和除法，结合运算顺序进行计算。 2. **灵活选择算法：** 可以利用乘法分配律等运算定律简化计算。 3. **验算：** 通过逆运算进行验算，检查计算结果的正确性。例如，乘法用除法验算，除法用乘法验算。 ## IV. 特殊数值的乘除法 ### A. 乘以或除以10, 100, 1000… * **乘以10, 100, 1000…：** 在数的末尾添加相应个数的0。 * **除以10, 100, 1000…：** 去掉末尾相应个数的0 (如果是小数，小数点左移相应位数)。 ### B. 乘以或除以5, 25 * **乘以5：** 乘以10 除以 2 ( ×5 = ×10 ÷ 2) * **除以5：** 乘以 2 除以 10 ( ÷5 = ×2 ÷ 10) * **乘以25：** 乘以100 除以 4 ( ×25 = ×100 ÷ 4) * **除以25：** 乘以 4 除以 100 ( ÷25 = ×4 ÷ 100) ## V. 易错点 1. **忘记进位或退位：** 在笔算乘除法时，容易忘记进位或退位。 2. **商中间或末尾有0的情况：** 在除法中，如果不够除，要在商的位置上写0占位。 3. **运算顺序错误：** 没有按照正确的运算顺序进行计算。 4. **余数大于或等于除数：** 要检查余数是否小于除数，如果余数大于或等于除数，说明商小了。 5. **估算不准确：** 估算时，近似的数值要合理，避免误差过大。 ## VI. 总结掌握整数乘除法的概念、运算方法和应用，能够提高数学计算能力和解决实际问题的能力。重要的是理解其本质，熟练运用各种技巧，并且在练习中不断总结和提高。勤加练习，形成良好的计算习惯，避免粗心大意，是学好整数乘除法的关键。

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