函数知识梳理思维导图
# 《函数知识梳理思维导图》
## 一、函数概念与表示
* **定义：**
* 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
* x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；与x对应的f(x)称为函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }称为函数的值域。
* **要素：**
* 定义域：确定函数存在的自变量范围 (集合A)。
* 常见类型：
* 分母不为零。
* 根式下非负。
* 对数真数大于零。
* 零次幂底数不为零。
* 实际问题结合实际意义。
* 对应关系：明确自变量与函数值之间的映射规则 (f)。
* 解析式：显式表达。
* 图像：直观表示。
* 表格：离散数据记录。
* 值域：函数值的取值范围 (集合{f(x)| x∈A })。
* 常用求法：
* 直接法：适用于简单函数。
* 配方法：适用于二次函数。
* 反函数法：适用于具有反函数的函数。
* 换元法：化繁为简。
* 不等式法：利用不等式性质。
* 导数法：适用于可导函数。
* **表示法：**
* 解析法：用数学表达式表示函数关系。
* 优点：精确，便于计算和推导。
* 缺点：有些函数关系不易用解析式表示。
* 图像法：用图像表示函数关系。
* 优点：直观，便于观察函数性质。
* 缺点：不够精确，不易计算。
* 列表法：用表格表示函数关系。
* 优点：简单明了，便于查阅。
* 缺点：只能表示有限个自变量与函数值的对应关系。
* **分段函数：**
* 在定义域的不同区间上，对应关系不同的函数。
* 关键：明确各段上的对应关系和定义域。
* 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数。
* **函数相等：**
* 定义域相同，对应关系相同。
## 二、函数性质
* **单调性：**
* 定义：
* 增函数：对于定义域内的任意x1, x2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
* 减函数：对于定义域内的任意x1, x2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
* 判定方法：
* 定义法：计算f(x1)-f(x2)的符号。
* 导数法：判断导数的符号。
* 复合函数：同增异减。
* 图像法：观察图像的走向。
* 应用：
* 解不等式。
* 求最值。
* 比较大小。
* **奇偶性：**
* 定义：
* 偶函数：f(-x) = f(x)。图像关于y轴对称。
* 奇函数：f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
* 判定方法：
* 定义法：计算f(-x)与f(x)的关系。
* 图像法：观察图像的对称性。
* 性质：
* 奇函数过原点（若有定义）。
* 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相同，奇函数相反。
* 复合函数：同偶异奇。
* **周期性：**
* 定义：存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)。
* T是函数的一个周期，最小正周期是最重要的。
* 常见周期函数：三角函数。
* 应用：简化函数计算，求函数值。
* **对称性：**
* 轴对称：如果f(a+x)=f(a-x)，则函数图像关于直线x=a对称。
* 中心对称：如果f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数图像关于点(a,b)对称。
## 三、基本初等函数
* **常数函数：**
* y = c (c为常数)。
* 图像为一条水平直线。
* **幂函数：**
* y = x^α (α为实数)。
* 图像和性质受α的影响。
* 掌握α=1, 2, 3, 1/2, -1时的图像和性质。
* **指数函数：**
* y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
* a > 1时，为增函数。
* 0 < a < 1时，为减函数。
* 过定点(0, 1)。
* **对数函数：**
* y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)。
* a > 1时，为增函数。
* 0 < a < 1时，为减函数。
* 过定点(1, 0)。
* 注意换底公式。
* **三角函数：** (见三角函数部分思维导图)
## 四、函数变换
* **平移变换：**
* 左加右减，上加下减。
* y = f(x) -> y = f(x+a) (水平平移)
* y = f(x) -> y = f(x) + b (竖直平移)
* **对称变换：**
* 关于x轴对称：y = -f(x)。
* 关于y轴对称：y = f(-x)。
* 关于原点对称：y = -f(-x)。
* **伸缩变换：**
* 水平伸缩：y = f(ωx) (ω>1, 缩小; 0<ω<1, 放大)。
* 竖直伸缩：y = Af(x) (A>1, 放大; 0
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