《函数知识梳理思维导图》

一、函数概念与表示

• 定义：
  • 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
  • x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；与x对应的f(x)称为函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }称为函数的值域。
• 要素：
  • 定义域：确定函数存在的自变量范围 (集合A)。
    • 常见类型：
      • 分母不为零。
      • 根式下非负。
      • 对数真数大于零。
      • 零次幂底数不为零。
      • 实际问题结合实际意义。
  • 对应关系：明确自变量与函数值之间的映射规则 (f)。
    • 解析式：显式表达。
    • 图像：直观表示。
    • 表格：离散数据记录。
  • 值域：函数值的取值范围 (集合{f(x)| x∈A })。
    • 常用求法：
      • 直接法：适用于简单函数。
      • 配方法：适用于二次函数。
      • 反函数法：适用于具有反函数的函数。
      • 换元法：化繁为简。
      • 不等式法：利用不等式性质。
      • 导数法：适用于可导函数。
• 表示法：
  • 解析法：用数学表达式表示函数关系。
    • 优点：精确，便于计算和推导。
    • 缺点：有些函数关系不易用解析式表示。
  • 图像法：用图像表示函数关系。
    • 优点：直观，便于观察函数性质。
    • 缺点：不够精确，不易计算。
  • 列表法：用表格表示函数关系。
    • 优点：简单明了，便于查阅。
    • 缺点：只能表示有限个自变量与函数值的对应关系。
• 分段函数：
  • 在定义域的不同区间上，对应关系不同的函数。
  • 关键：明确各段上的对应关系和定义域。
  • 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数。
• 函数相等：
  • 定义域相同，对应关系相同。

二、函数性质

• 单调性：
  • 定义：
    • 增函数：对于定义域内的任意x1, x2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
    • 减函数：对于定义域内的任意x1, x2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
  • 判定方法：
    • 定义法：计算f(x1)-f(x2)的符号。
    • 导数法：判断导数的符号。
    • 复合函数：同增异减。
    • 图像法：观察图像的走向。
  • 应用：
    • 解不等式。
    • 求最值。
    • 比较大小。
• 奇偶性：
  • 定义：
    • 偶函数：f(-x) = f(x)。图像关于y轴对称。
    • 奇函数：f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
  • 判定方法：
    • 定义法：计算f(-x)与f(x)的关系。
    • 图像法：观察图像的对称性。
  • 性质：
    • 奇函数过原点（若有定义）。
    • 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相同，奇函数相反。
  • 复合函数：同偶异奇。
• 周期性：
  • 定义：存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)。
  • T是函数的一个周期，最小正周期是最重要的。
  • 常见周期函数：三角函数。
  • 应用：简化函数计算，求函数值。
• 对称性：
  • 轴对称：如果f(a+x)=f(a-x)，则函数图像关于直线x=a对称。
  • 中心对称：如果f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数图像关于点(a,b)对称。

三、基本初等函数

• 常数函数：
  • y = c (c为常数)。
  • 图像为一条水平直线。
• 幂函数：
  • y = x^α (α为实数)。
  • 图像和性质受α的影响。
  • 掌握α=1, 2, 3, 1/2, -1时的图像和性质。
• 指数函数：
  • y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
  • a > 1时，为增函数。
  • 0 < a < 1时，为减函数。
  • 过定点(0, 1)。
• 对数函数：
  • y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)。
  • a > 1时，为增函数。
  • 0 < a < 1时，为减函数。
  • 过定点(1, 0)。
  • 注意换底公式。
• 三角函数： (见三角函数部分思维导图)

四、函数变换

• 平移变换：
  • 左加右减，上加下减。
  • y = f(x) -> y = f(x+a) (水平平移)
  • y = f(x) -> y = f(x) + b (竖直平移)
• 对称变换：
  • 关于x轴对称：y = -f(x)。
  • 关于y轴对称：y = f(-x)。
  • 关于原点对称：y = -f(-x)。
• 伸缩变换：
  • 水平伸缩：y = f(ωx) (ω>1, 缩小; 0<ω<1, 放大)。
  • 竖直伸缩：y = Af(x) (A>1, 放大; 0<A<1, 缩小)。
• 翻折变换：
  • y = |f(x)| (将x轴下方部分翻折到x轴上方)。
  • y = f(|x|) (保留y轴右侧部分，并关于y轴对称)。

五、函数应用

• 零点问题：
  • f(x) = 0的根。
  • 二分法、图像法、代数法。
  • 零点存在性定理。
• 方程的根：
  • 函数图像的交点。
  • 构造函数，转化为零点问题。
• 不等式问题：
  • 函数单调性。
  • 函数图像。
• 实际应用：
  • 建立函数模型。
  • 求解函数模型。
  • 解释实际问题。

六、反函数

• 定义：
  • 设函数y = f(x)的定义域是A，值域是C，如果存在函数x = g(y)，使对于C中任何一个值y，通过它都能确定唯一的x值，且g(y) = x，那么x = g(y)就叫做函数y = f(x)的反函数，记作x = f⁻¹(y)。
• 性质：
  • 原函数与反函数的图像关于直线y=x对称。
  • 原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
  • 只有单调函数才有反函数。
• 求反函数步骤：
  • 反解x。
  • 互换x, y。
  • 注明定义域。

七、复合函数

• 定义：
  • 设函数y = f(u)，u = g(x)，那么y = f(g(x))称为f与g的复合函数，x是自变量，u是中间变量。
• 定义域：
  • g(x)的值域是f(u)定义域的子集。
• 单调性：
  • 同增异减。
• 注意：
  • 复合顺序不同，函数也可能不同。