数的整除知识结构图

# 《数的整除知识结构图》

## 一、基本概念

### 1.1 整除的定义

*   定义：若整数a除以整数b（b≠0）所得的商为整数，且余数为零，则称a能被b整除，记作b|a。
*   符号：b|a (读作“b整除a”或“a能被b整除”)。
*   关系：b是a的因数（或约数），a是b的倍数。
*   前提条件：在整数范围内讨论。
*   例子：6|12，因为12 ÷ 6 = 2，没有余数；3|15，因为15 ÷ 3 = 5，没有余数。

### 1.2 因数和倍数

*   因数（约数）：如果整数b能整除整数a，那么b就是a的因数。
*   倍数：如果整数a能被整数b整除，那么a就是b的倍数。
*   特征：
    *   任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。
    *   任何整数都是它本身的因数和倍数。
    *   一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。
    *   一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身。

### 1.3 质数和合数

*   质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。
    *   例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
*   合数：除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
    *   例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...
*   1既不是质数也不是合数。
*   质数的判定：大于1的自然数n，如果它不能被所有小于等于√n的质数整除，那么n是质数。

### 1.4 互质数

*   定义：公因数只有1的两个整数，叫做互质数。
*   类型：
    *   两个质数一定是互质数。
    *   相邻的两个自然数一定是互质数。
    *   1和任何自然数都是互质数。
    *   不同的质数相乘得到的数，与这些质数也互质。
*   最大公因数为1是互质数的必要条件。

## 二、整除的判定

### 2.1 2、5的倍数特征

*   2的倍数特征：个位数字是0, 2, 4, 6, 8的数。
*   5的倍数特征：个位数字是0或5的数。
*   既是2的倍数又是5的倍数的数，个位数字一定是0。

### 2.2 3、9的倍数特征

*   3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
*   9的倍数特征：各个数位上的数字之和是9的倍数。
*   一个数是9的倍数，一定是3的倍数，反之不然。

### 2.3 4、25的倍数特征

*   4的倍数特征：末两位数是4的倍数，或者末两位数是00。
*   25的倍数特征：末两位数是25的倍数，或者末两位数是00。

### 2.4 8、125的倍数特征

*   8的倍数特征：末三位数是8的倍数，或者末三位数是000。
*   125的倍数特征：末三位数是125的倍数，或者末三位数是000。

### 2.5 7、11、13的倍数特征

*   7、11、13的倍数特征：从个位起，每三位分为一段，用奇数段的和减去偶数段的和（大减小），如果差是7、11或13的倍数，则原数是7、11或13的倍数。

## 三、分解质因数

### 3.1 定义

*   把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

### 3.2 方法

*   短除法：用质数依次去除，直到商为质数为止。
*   树状图法：将合数分解成两个因数相乘，再将因数分解，直到所有因数都是质数为止。

### 3.3 应用

*   求最大公因数和最小公倍数。

## 四、最大公因数和最小公倍数

### 4.1 最大公因数（GCD）

*   定义：几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
*   求法：
    *   列举法：列出所有因数，找出最大的公因数。（适用于较小数字）
    *   分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有公有的质因数，取每个公有的质因数最小的指数的乘积。
    *   短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数的乘积即为最大公因数。
    *   辗转相除法（欧几里得算法）：用较大的数除以较小的数，再用除数除以余数，依次循环，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数。
*   互质数：最大公因数为1的两个数。

### 4.2 最小公倍数（LCM）

*   定义：几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
*   求法：
    *   列举法：列出所有倍数，找出最小的公倍数。（适用于较小数字）
    *   分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有质因数，取每个质因数最大的指数的乘积。
    *   短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。
*   特殊情况：如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。

### 4.3 最大公因数和最小公倍数的关系

*   两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。

## 五、余数问题

### 5.1 同余

*   定义：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m所得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。

### 5.2 中国剩余定理

*   解决的是一类同余方程组的解的问题。
*   适用于模数两两互质的情况。

### 5.3 基本性质

*   若 a ≡ b (mod m)，则 a+k ≡ b+k (mod m)。
*   若 a ≡ b (mod m)，则 a*k ≡ b*k (mod m)。
*   若 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则 a+c ≡ b+d (mod m)，a*c ≡ b*d (mod m)。

## 六、数的整除的综合应用

### 6.1 解决实际问题

*   分东西问题：例如，将一些物品平均分给若干个人，求最少需要多少个物品。
*   周期问题：例如，求某一天是星期几。
*   日期问题：例如，计算两个日期之间相隔的天数。

### 6.2 数论问题

*   证明某个数是否能被另一个数整除。
*   求解同余方程。
*   分析整数的性质。

## 七、知识结构图总结

数的整除是小学数学和初中数学的重要组成部分，理解和掌握这些概念和方法，对于解决各种数学问题，特别是数论问题，具有重要的意义。 理解整除的定义和性质，熟练掌握各种整除判定方法，能够灵活运用分解质因数的方法求解最大公因数和最小公倍数，是学习数论的基础。

# 《数的整除知识结构图》 ## 一、基本概念 ### 1.1 整除的定义 * 定义：若整数a除以整数b（b≠0）所得的商为整数，且余数为零，则称a能被b整除，记作b|a。 * 符号：b|a (读作“b整除a”或“a能被b整除”)。 * 关系：b是a的因数（或约数），a是b的倍数。 * 前提条件：在整数范围内讨论。 * 例子：6|12，因为12 ÷ 6 = 2，没有余数；3|15，因为15 ÷ 3 = 5，没有余数。 ### 1.2 因数和倍数 * 因数（约数）：如果整数b能整除整数a，那么b就是a的因数。 * 倍数：如果整数a能被整数b整除，那么a就是b的倍数。 * 特征： * 任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。 * 任何整数都是它本身的因数和倍数。 * 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 * 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身。 ### 1.3 质数和合数 * 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。 * 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... * 合数：除了1和它本身以外，还有其他因数的数。 * 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ... * 1既不是质数也不是合数。 * 质数的判定：大于1的自然数n，如果它不能被所有小于等于√n的质数整除，那么n是质数。 ### 1.4 互质数 * 定义：公因数只有1的两个整数，叫做互质数。 * 类型： * 两个质数一定是互质数。 * 相邻的两个自然数一定是互质数。 * 1和任何自然数都是互质数。 * 不同的质数相乘得到的数，与这些质数也互质。 * 最大公因数为1是互质数的必要条件。 ## 二、整除的判定 ### 2.1 2、5的倍数特征 * 2的倍数特征：个位数字是0, 2, 4, 6, 8的数。 * 5的倍数特征：个位数字是0或5的数。 * 既是2的倍数又是5的倍数的数，个位数字一定是0。 ### 2.2 3、9的倍数特征 * 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 * 9的倍数特征：各个数位上的数字之和是9的倍数。 * 一个数是9的倍数，一定是3的倍数，反之不然。 ### 2.3 4、25的倍数特征 * 4的倍数特征：末两位数是4的倍数，或者末两位数是00。 * 25的倍数特征：末两位数是25的倍数，或者末两位数是00。 ### 2.4 8、125的倍数特征 * 8的倍数特征：末三位数是8的倍数，或者末三位数是000。 * 125的倍数特征：末三位数是125的倍数，或者末三位数是000。 ### 2.5 7、11、13的倍数特征 * 7、11、13的倍数特征：从个位起，每三位分为一段，用奇数段的和减去偶数段的和（大减小），如果差是7、11或13的倍数，则原数是7、11或13的倍数。 ## 三、分解质因数 ### 3.1 定义 * 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 ### 3.2 方法 * 短除法：用质数依次去除，直到商为质数为止。 * 树状图法：将合数分解成两个因数相乘，再将因数分解，直到所有因数都是质数为止。 ### 3.3 应用 * 求最大公因数和最小公倍数。 ## 四、最大公因数和最小公倍数 ### 4.1 最大公因数（GCD） * 定义：几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 * 求法： * 列举法：列出所有因数，找出最大的公因数。（适用于较小数字） * 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有公有的质因数，取每个公有的质因数最小的指数的乘积。 * 短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数的乘积即为最大公因数。 * 辗转相除法（欧几里得算法）：用较大的数除以较小的数，再用除数除以余数，依次循环，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数。 * 互质数：最大公因数为1的两个数。 ### 4.2 最小公倍数（LCM） * 定义：几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 * 求法： * 列举法：列出所有倍数，找出最小的公倍数。（适用于较小数字） * 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有质因数，取每个质因数最大的指数的乘积。 * 短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。 * 特殊情况：如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。 ### 4.3 最大公因数和最小公倍数的关系 * 两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。 ## 五、余数问题 ### 5.1 同余 * 定义：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m所得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。 ### 5.2 中国剩余定理 * 解决的是一类同余方程组的解的问题。 * 适用于模数两两互质的情况。 ### 5.3 基本性质 * 若 a ≡ b (mod m)，则 a+k ≡ b+k (mod m)。 * 若 a ≡ b (mod m)，则 a*k ≡ b*k (mod m)。 * 若 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则 a+c ≡ b+d (mod m)，a*c ≡ b*d (mod m)。 ## 六、数的整除的综合应用 ### 6.1 解决实际问题 * 分东西问题：例如，将一些物品平均分给若干个人，求最少需要多少个物品。 * 周期问题：例如，求某一天是星期几。 * 日期问题：例如，计算两个日期之间相隔的天数。 ### 6.2 数论问题 * 证明某个数是否能被另一个数整除。 * 求解同余方程。 * 分析整数的性质。 ## 七、知识结构图总结数的整除是小学数学和初中数学的重要组成部分，理解和掌握这些概念和方法，对于解决各种数学问题，特别是数论问题，具有重要的意义。理解整除的定义和性质，熟练掌握各种整除判定方法，能够灵活运用分解质因数的方法求解最大公因数和最小公倍数，是学习数论的基础。

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