《数的整除知识结构图》
一、基本概念
1.1 整除的定义
- 定义：若整数a除以整数b（b≠0）所得的商为整数，且余数为零，则称a能被b整除，记作b|a。
- 符号：b|a (读作“b整除a”或“a能被b整除”)。
- 关系：b是a的因数（或约数），a是b的倍数。
- 前提条件：在整数范围内讨论。
- 例子：6|12，因为12 ÷ 6 = 2，没有余数；3|15，因为15 ÷ 3 = 5，没有余数。
1.2 因数和倍数
- 因数（约数）：如果整数b能整除整数a，那么b就是a的因数。
- 倍数：如果整数a能被整数b整除，那么a就是b的倍数。
- 特征：
- 任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。
- 任何整数都是它本身的因数和倍数。
- 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。
- 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身。
1.3 质数和合数
- 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。
- 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
- 合数：除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
- 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...
- 1既不是质数也不是合数。
- 质数的判定：大于1的自然数n，如果它不能被所有小于等于√n的质数整除，那么n是质数。
1.4 互质数
- 定义：公因数只有1的两个整数，叫做互质数。
- 类型：
- 两个质数一定是互质数。
- 相邻的两个自然数一定是互质数。
- 1和任何自然数都是互质数。
- 不同的质数相乘得到的数，与这些质数也互质。
- 最大公因数为1是互质数的必要条件。
二、整除的判定
2.1 2、5的倍数特征
- 2的倍数特征：个位数字是0, 2, 4, 6, 8的数。
- 5的倍数特征：个位数字是0或5的数。
- 既是2的倍数又是5的倍数的数，个位数字一定是0。
2.2 3、9的倍数特征
- 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
- 9的倍数特征：各个数位上的数字之和是9的倍数。
- 一个数是9的倍数，一定是3的倍数，反之不然。
2.3 4、25的倍数特征
- 4的倍数特征：末两位数是4的倍数，或者末两位数是00。
- 25的倍数特征：末两位数是25的倍数，或者末两位数是00。
2.4 8、125的倍数特征
- 8的倍数特征：末三位数是8的倍数，或者末三位数是000。
- 125的倍数特征：末三位数是125的倍数，或者末三位数是000。
2.5 7、11、13的倍数特征
- 7、11、13的倍数特征：从个位起，每三位分为一段，用奇数段的和减去偶数段的和（大减小），如果差是7、11或13的倍数，则原数是7、11或13的倍数。
三、分解质因数
3.1 定义
- 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
3.2 方法
- 短除法：用质数依次去除，直到商为质数为止。
- 树状图法：将合数分解成两个因数相乘，再将因数分解，直到所有因数都是质数为止。
3.3 应用
- 求最大公因数和最小公倍数。
四、最大公因数和最小公倍数
4.1 最大公因数（GCD）
- 定义：几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
- 求法：
- 列举法：列出所有因数，找出最大的公因数。（适用于较小数字）
- 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有公有的质因数，取每个公有的质因数最小的指数的乘积。
- 短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数的乘积即为最大公因数。
- 辗转相除法（欧几里得算法）：用较大的数除以较小的数，再用除数除以余数，依次循环，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数。
- 互质数：最大公因数为1的两个数。
4.2 最小公倍数（LCM）
- 定义：几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
- 求法：
- 列举法：列出所有倍数，找出最小的公倍数。（适用于较小数字）
- 分解质因数法：将每个数分解质因数，找出所有质因数，取每个质因数最大的指数的乘积。
- 短除法：用公有的质因数去除，直到互质为止，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。
- 特殊情况：如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
4.3 最大公因数和最小公倍数的关系
- 两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。
五、余数问题
5.1 同余
- 定义：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m所得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
5.2 中国剩余定理
- 解决的是一类同余方程组的解的问题。
- 适用于模数两两互质的情况。
5.3 基本性质
- 若 a ≡ b (mod m)，则 a+k ≡ b+k (mod m)。
- 若 a ≡ b (mod m)，则 ak ≡ bk (mod m)。
- 若 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则 a+c ≡ b+d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)。
六、数的整除的综合应用
6.1 解决实际问题
- 分东西问题：例如，将一些物品平均分给若干个人，求最少需要多少个物品。
- 周期问题：例如，求某一天是星期几。
- 日期问题：例如，计算两个日期之间相隔的天数。
6.2 数论问题
- 证明某个数是否能被另一个数整除。
- 求解同余方程。
- 分析整数的性质。
七、知识结构图总结
数的整除是小学数学和初中数学的重要组成部分，理解和掌握这些概念和方法，对于解决各种数学问题，特别是数论问题，具有重要的意义。 理解整除的定义和性质，熟练掌握各种整除判定方法，能够灵活运用分解质因数的方法求解最大公因数和最小公倍数，是学习数论的基础。