《六年级上册数学数的整除思维导图》

中心主题：数的整除

一级分支：基本概念

• 定义：
  • 整除：整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。
  • 除尽：整数a除以整数b（b≠0），商是整数，就说a能被b除尽。
  • 区别：整除必须是商为整数且余数为0，除尽只要求商为整数，余数可以为0。
• 相关术语：
  • 被除数：在除法运算中，被另一个数所除的数。
  • 除数：在除法运算中，用来除另一个数的数。
  • 商：除法运算的结果。
  • 余数：除法运算中，不能被整除的部分。
• 表示方法：
  • a能被b整除记作：b|a
  • a不能被b整除记作：b∤a

一级分支：整除的性质

• 传递性：
  • 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除，即如果b|a, c|b，则c|a。
• 可加性/可减性：
  • 如果a能被c整除，b能被c整除，那么a+b能被c整除，a-b也能被c整除（a>b），即如果c|a, c|b，则c|(a+b), c|(a-b)。
  • 推广：如果a,b,c都能被d整除，则a+b-c也能被d整除。
• 可乘性：
  • 如果a能被b整除，那么a乘以任何整数c都能被b整除，即如果b|a，则b|(ac)。
• 分配性：
  • 如果 a = b + c, 且b和c都能被 d 整除，那么a也能被 d 整除。

一级分支：能被特殊数整除的数的特征

• 能被2整除的数：
  • 个位是0、2、4、6、8的数。
  • 是偶数。
• 能被5整除的数：
  • 个位是0或5的数。
• 能被3整除的数：
  • 各位数字之和能被3整除的数。
• 能被9整除的数：
  • 各位数字之和能被9整除的数。
• 能被4（或25）整除的数：
  • 末两位能被4（或25）整除的数。
• 能被8（或125）整除的数：
  • 末三位能被8（或125）整除的数。
• 能被11整除的数：
  • 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。

一级分支：因数与倍数

• 定义：
  • 因数（约数）：如果整数a能被整数b整除(b≠0)，那么b叫做a的因数（约数）。
  • 倍数：如果整数a能被整数b整除(b≠0)，那么a叫做b的倍数。
  • 关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
• 求因数的方法：
  • 列举法：按从小到大的顺序，找出所有的因数。
  • 成对法：一对一对地找因数。
• 求倍数的方法：
  • 乘以自然数：将该数依次乘以1,2,3,4...得到其倍数。
• 性质：
  • 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一级分支：质数与合数

• 定义：
  • 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。
  • 合数：除了1和它本身以外，还有其他的因数的数。
  • 1既不是质数也不是合数。
• 判断质数的方法：
  • 试除法：用2到√n之间的质数去除n，如果都不能整除，那么n是质数。
• 最小的质数： 2
• 100以内的质数： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
• 哥德巴赫猜想 (简单了解): 任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

一级分支：分解质因数

• 定义：
  • 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
• 方法：
  • 短除法：用短除号，先用一个能整除这个合数的质数去除，如果得出的商是合数，再用一个能整除商的质数去除，直到得出的商是质数为止。然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。
  • 树状图法：将一个合数分解成两个因数的乘积，再将每个因数分解成两个更小的因数的乘积，直到所有因数都是质数为止。
• 意义：
  • 是求最大公因数和最小公倍数的基础。
• 标准分解式:
  • 任何一个大于1的整数都可以唯一地写成若干个质数的幂的乘积的形式： N = p1^a1 p2^a2 ... * pk^ak （其中p1, p2, ..., pk是互不相同的质数，a1, a2, ..., ak是正整数）。

一级分支：公因数与公倍数

• 公因数：
  • 定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
  • 最大公因数（GCD）：几个数公有的因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
  • 求最大公因数的方法：
    • 列举法：分别列出各数的因数，找出公有的，最大的那个。
    • 分解质因数法：先分别分解质因数，然后找出所有公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。
    • 短除法：用这几个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
    • 辗转相除法（欧几里得算法）：用大数除以小数，如果能整除，那么小数就是最大公因数；如果不能整除，就用余数去除刚才的除数，以此类推，直到能整除为止，那么最后的除数就是最大公因数。
• 公倍数：
  • 定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
  • 最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
  • 求最小公倍数的方法：
    • 列举法：分别列出各数的倍数，找出公有的，最小的那个。
    • 分解质因数法：先分别分解质因数，然后把各数中所有的质因数都找出来，相同的质因数只取最高指数的，然后把这些质因数相乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
    • 短除法：用这几个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
• 互质数：
  • 定义：只有公因数1的两个数叫做互质数。
  • 关系：
    • 两个质数一定是互质数。
    • 相邻的两个自然数一定是互质数。
    • 1和任何自然数都互质。
    • 如果两个数都是合数，它们可能互质，也可能不互质。
• 最大公因数和最小公倍数的关系：
  • 两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。
  • (a, b) [a, b] = a b （其中(a,b)表示a和b的最大公因数，[a,b]表示a和b的最小公倍数）

一级分支：数的奇偶性

• 定义：
  • 奇数：不能被2整除的整数。
  • 偶数：能被2整除的整数。
• 性质：
  • 奇数±奇数=偶数
  • 偶数±偶数=偶数
  • 奇数±偶数=奇数
  • 奇数×奇数=奇数
  • 偶数×偶数=偶数
  • 奇数×偶数=偶数
• 应用：
  • 解决一些与奇偶数有关的实际问题。