《六年级上册数学第一单元整数与整除思维导图》

一、 整数与整除的概念

• 1.1 整数:

  • 包括正整数、零和负整数。
  • 表示方法：…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
  • 分类：
    • 正整数：大于0的整数。
    • 零：既不是正整数也不是负整数。
    • 负整数：小于0的整数。

• 1.2 整除:

  • 定义：若整数a除以整数b（b≠0）所得的商为整数且余数为零，则称a能被b整除，或b能整除a。
  • 表示方法：a ÷ b = c (a, b, c 均为整数，且b≠0)
  • 关键条件：
    • 除数不能为0。
    • 商必须是整数。
    • 余数必须为0。

• 1.3 约数（因数）与倍数:

  • 定义：若整数a能被整数b整除，则b是a的约数（或因数），a是b的倍数。
  • 约数：一个数的约数个数是有限的。
  • 倍数：一个数的倍数个数是无限的。
  • 1的约数：只有1。
  • 任何数的约数：至少有1。
  • 一个数最大的约数：它本身。
  • 一个数最小的倍数：它本身。

二、 能被特殊数整除的特征

• 2.1 能被2整除的数：

  • 特征：个位数字是0、2、4、6或8的数。
  • 规律：偶数。

• 2.2 能被5整除的数：

  • 特征：个位数字是0或5的数。

• 2.3 能被3整除的数：

  • 特征：各位数字之和能被3整除的数。

• 2.4 能被9整除的数：

  • 特征：各位数字之和能被9整除的数。

• 2.5 能被4（或25）整除的数：

  • 特征：末两位数能被4（或25）整除的数。

• 2.6 能被8（或125）整除的数：

  • 特征：末三位数能被8（或125）整除的数。

• 2.7 能被11整除的数：

  • 特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
  • 例如：123421 (1+3+2)-(2+4+1) = 6-7 = -1。-1不是11的倍数，所以123421不能被11整除.
  • 例如：918082 (9+8+8)-(1+0+2)=25-3 = 22. 22是11的倍数，所以918082能被11整除。

三、 质数、合数与分解质因数

• 3.1 质数（素数）：

  • 定义：只有1和它本身两个约数的数。
  • 例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
  • 最小的质数：2 (也是唯一的偶数质数)。

• 3.2 合数：

  • 定义：除了1和它本身以外，还有其他约数的数。
  • 例如：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, …
  • 最小的合数：4。

• 3.3 1的特殊性：

  • 1既不是质数也不是合数。

• 3.4 分解质因数：

  • 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
  • 方法：
    • 短除法：从最小的质数开始，依次除到商是质数为止。
    • 树状图法：逐步分解，直到所有的因子都是质数。
  • 例如：
    • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
    • 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

四、 最大公约数与最小公倍数

• 4.1 公约数与最大公约数（最大公因数）：

  • 定义：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
  • 表示方法：(a, b) 或 gcd(a, b)
  • 求法：
    • 列举法：列出每个数的约数，找出公有的，再找出最大的。适用于较小的数。
    • 分解质因数法：把每个数分解质因数，找出所有公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
    • 短除法：用这几个数公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
  • 互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。两个质数一定是互质数。

• 4.2 公倍数与最小公倍数：

  • 定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
  • 表示方法：[a, b] 或 lcm(a, b)
  • 求法：
    • 列举法：列出每个数的倍数，找出公有的，再找出最小的。适用于较小的数。
    • 分解质因数法：把每个数分解质因数，找出所有公有的质因数和各自独有的质因数，把这些质因数相乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
    • 短除法：用这几个数公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
  • 特殊情况：
    • 如果两个数互质，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
    • 如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数是它们的最小公倍数。

• 4.3 最大公约数和最小公倍数的关系：

  • 对于两个数a和b，有：a × b = (a, b) × [a, b]

五、 实际应用

• 5.1 分数化简：

  • 利用最大公约数将分数化成最简分数。

• 5.2 分数通分：

  • 利用最小公倍数将分数通分。

• 5.3 排列问题：

  • 例如：一些糖果平均分给若干个小朋友，求小朋友人数和糖果数量的可能情况。（约数问题）

• 5.4 周期问题：

  • 例如：若干个彩灯按一定规律循环闪烁，求某时刻亮什么颜色的灯。（最小公倍数问题）

• 5.5 拼图问题：

  • 例如：用若干块相同的长方形瓷砖拼成一个正方形，求正方形的最小边长。（最小公倍数问题）

六、 易错点

• 6.1 混淆约数和倍数：

  • 必须明确谁是谁的约数，谁是谁的倍数，是相对而言的。

• 6.2 忘记1既不是质数也不是合数：

  • 1是个特殊的数，它不在质数和合数的范畴内。

• 6.3 分解质因数时分解不彻底：

  • 必须分解到所有的因子都是质数为止。

• 6.4 最大公约数和最小公倍数的求法混淆：

  • 最大公约数是公有质因数的乘积，最小公倍数是所有质因数的乘积。

• 6.5 认为两个数互质，就一定是质数：

  • 互质是指两个数的公约数只有1，这两个数可以是合数。例如：8和9。

七、 总结

整数与整除是小学数学的基础，掌握好相关的概念、性质和方法，对于后续的学习至关重要。通过思维导图的方式，可以更清晰地梳理知识点，提高解题效率。 熟练掌握能被特殊数整除的特征能够简化计算过程。 理解最大公约数和最小公倍数在实际问题中的应用，能够更好地解决生活中的数学问题。