数的整除思维导图六年级上

## 《数的整除思维导图六年级上》

**中心主题：数的整除**

**一级分支：基本概念**

*   **整除定义：**
    *   如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商为整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
    *   关键词：整数、没有余数、除尽。
    *   a是b的倍数，b是a的因数 (或约数)。
    *   例如：12 ÷ 3 = 4， 12能被3整除，3能整除12。 12是3的倍数，3是12的因数。

*   **倍数与因数：**
    *   倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。
    *   因数：一个数能够整除另一个数，这个数就是另一个数的因数。
    *   关系：倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。
    *   举例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12；12的倍数有12, 24, 36, 48,...
    *   一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
    *   一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

*   **整除的性质：**
    *   传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a就能被c整除。
        *   数学表达式：a | b, b | c  => a | c
        *   例子：12能被6整除，6能被3整除，那么12就能被3整除。
    *   如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b也能被c整除，a-b也能被c整除。
        *   数学表达式：c | a, c | b => c | (a+b), c | (a-b) (a>b)
        *   例子：15能被3整除，6能被3整除，那么15+6=21也能被3整除，15-6=9也能被3整除。
    *   如果a能被c整除，那么ka也能被c整除（k为整数）。
        *   数学表达式：c | a => c | (ka)
        *   例子：12能被4整除，那么3*12=36也能被4整除。

**一级分支：特殊数的整除特征**

*   **2的倍数：**
    *   个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
    *   也称为偶数。

*   **5的倍数：**
    *   个位是0或5的数。

*   **3的倍数：**
    *   各位数字之和是3的倍数。
    *   例子：123 (1+2+3=6, 6是3的倍数，所以123是3的倍数)

*   **9的倍数：**
    *   各位数字之和是9的倍数。
    *   例子：819 (8+1+9=18, 18是9的倍数，所以819是9的倍数)

*   **4和25的倍数：**
    *   看末两位是否是4或25的倍数，或者末两位是00。
    *   例子：1324 (24是4的倍数，所以1324是4的倍数); 1575 (75是25的倍数，所以1575是25的倍数)。

*   **8和125的倍数：**
    *   看末三位是否是8或125的倍数，或者末三位是000。
    *   例子：2120 (120是8的倍数，所以2120是8的倍数); 3375 (375是125的倍数，所以3375是125的倍数)。

*   **11的倍数：**
    *   奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数（包括0）。
    *   例子：2574 (2+7 = 9, 5+4 = 9, 9-9 = 0, 所以2574是11的倍数)

**一级分支：质数与合数**

*   **质数（素数）：**
    *   只有1和它本身两个因数的数。
    *   最小的质数是2，2是唯一的偶数质数。
    *   例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

*   **合数：**
    *   除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
    *   最小的合数是4。
    *   例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

*   **1的特殊性：**
    *   1既不是质数也不是合数。

*   **分解质因数：**
    *   把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
    *   方法：短除法、树状图法。
    *   例子：12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

**一级分支：公因数与公倍数**

*   **公因数：**
    *   几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
    *   最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）：几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

*   **公倍数：**
    *   几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
    *   最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）：几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

*   **求最大公因数与最小公倍数：**
    *   短除法：同时除以公有的质因数，直到没有公有质因数为止。
        *   最大公因数：所有除数的乘积。
        *   最小公倍数：所有除数和最后所得商的乘积。
    *   分解质因数法：
        *   最大公因数：所有公共质因数的最低次幂的乘积。
        *   最小公倍数：所有质因数最高次幂的乘积。
    *   特殊情况：互质数：最大公因数为1，最小公倍数为两数的乘积。  一个数是另一个数的倍数：最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

*   **最大公因数与最小公倍数的应用：**
    *   约分：用最大公因数约分。
    *   通分：用最小公倍数通分。
    *   解决实际问题：例如，将两种不同长度的木条截成相同长度的小段，求小段的最大长度 (求最大公因数)。将两种不同频率的灯同时亮起，求下次同时亮起的时间 (求最小公倍数)。

**一级分支：互质数**

*   **定义：**
    *   公因数只有1的两个数，叫做互质数。
*   **判断方法：**
    *   两个数都是质数，且不相等，那么它们互质。
    *   1和任何自然数互质。
    *   相邻的两个自然数互质。
    *   两个数都是合数，如果它们没有公共的质因数，那么它们互质。
*   **例子：**
    *   3和5是互质数。
    *   8和9是互质数。
    *   1和任何数互质。

**一级分支：奇数与偶数**

*   **定义：**
    *   能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
    *   0是偶数。
*   **性质：**
    *   奇数±奇数=偶数
    *   偶数±偶数=偶数
    *   奇数±偶数=奇数
    *   奇数×奇数=奇数
    *   偶数×偶数=偶数
    *   奇数×偶数=偶数

**总结：数的整除是六年级数学的重要组成部分，理解基本概念、掌握特殊数的整除特征、理解质数合数、掌握公因数公倍数的求法，并能灵活应用于实际问题，是学好这部分的关键。**

## 《数的整除思维导图六年级上》 **中心主题：数的整除** **一级分支：基本概念** * **整除定义：** * 如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商为整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。 * 关键词：整数、没有余数、除尽。 * a是b的倍数，b是a的因数 (或约数)。 * 例如：12 ÷ 3 = 4， 12能被3整除，3能整除12。 12是3的倍数，3是12的因数。 * **倍数与因数：** * 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。 * 因数：一个数能够整除另一个数，这个数就是另一个数的因数。 * 关系：倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。 * 举例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12；12的倍数有12, 24, 36, 48,... * 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 * 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 * **整除的性质：** * 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a就能被c整除。 * 数学表达式：a | b, b | c => a | c * 例子：12能被6整除，6能被3整除，那么12就能被3整除。 * 如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b也能被c整除，a-b也能被c整除。 * 数学表达式：c | a, c | b => c | (a+b), c | (a-b) (a>b) * 例子：15能被3整除，6能被3整除，那么15+6=21也能被3整除，15-6=9也能被3整除。 * 如果a能被c整除，那么ka也能被c整除（k为整数）。 * 数学表达式：c | a => c | (ka) * 例子：12能被4整除，那么3*12=36也能被4整除。 **一级分支：特殊数的整除特征** * **2的倍数：** * 个位是0, 2, 4, 6, 8的数。 * 也称为偶数。 * **5的倍数：** * 个位是0或5的数。 * **3的倍数：** * 各位数字之和是3的倍数。 * 例子：123 (1+2+3=6, 6是3的倍数，所以123是3的倍数) * **9的倍数：** * 各位数字之和是9的倍数。 * 例子：819 (8+1+9=18, 18是9的倍数，所以819是9的倍数) * **4和25的倍数：** * 看末两位是否是4或25的倍数，或者末两位是00。 * 例子：1324 (24是4的倍数，所以1324是4的倍数); 1575 (75是25的倍数，所以1575是25的倍数)。 * **8和125的倍数：** * 看末三位是否是8或125的倍数，或者末三位是000。 * 例子：2120 (120是8的倍数，所以2120是8的倍数); 3375 (375是125的倍数，所以3375是125的倍数)。 * **11的倍数：** * 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数（包括0）。 * 例子：2574 (2+7 = 9, 5+4 = 9, 9-9 = 0, 所以2574是11的倍数) **一级分支：质数与合数** * **质数（素数）：** * 只有1和它本身两个因数的数。 * 最小的质数是2，2是唯一的偶数质数。 * 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... * **合数：** * 除了1和它本身以外，还有其他因数的数。 * 最小的合数是4。 * 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... * **1的特殊性：** * 1既不是质数也不是合数。 * **分解质因数：** * 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 * 方法：短除法、树状图法。 * 例子：12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3 **一级分支：公因数与公倍数** * **公因数：** * 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 * 最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）：几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 * **公倍数：** * 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 * 最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）：几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 * **求最大公因数与最小公倍数：** * 短除法：同时除以公有的质因数，直到没有公有质因数为止。 * 最大公因数：所有除数的乘积。 * 最小公倍数：所有除数和最后所得商的乘积。 * 分解质因数法： * 最大公因数：所有公共质因数的最低次幂的乘积。 * 最小公倍数：所有质因数最高次幂的乘积。 * 特殊情况：互质数：最大公因数为1，最小公倍数为两数的乘积。一个数是另一个数的倍数：最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 * **最大公因数与最小公倍数的应用：** * 约分：用最大公因数约分。 * 通分：用最小公倍数通分。 * 解决实际问题：例如，将两种不同长度的木条截成相同长度的小段，求小段的最大长度 (求最大公因数)。将两种不同频率的灯同时亮起，求下次同时亮起的时间 (求最小公倍数)。 **一级分支：互质数** * **定义：** * 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 * **判断方法：** * 两个数都是质数，且不相等，那么它们互质。 * 1和任何自然数互质。 * 相邻的两个自然数互质。 * 两个数都是合数，如果它们没有公共的质因数，那么它们互质。 * **例子：** * 3和5是互质数。 * 8和9是互质数。 * 1和任何数互质。 **一级分支：奇数与偶数** * **定义：** * 能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。 * 0是偶数。 * **性质：** * 奇数±奇数=偶数 * 偶数±偶数=偶数 * 奇数±偶数=奇数 * 奇数×奇数=奇数 * 偶数×偶数=偶数 * 奇数×偶数=偶数 **总结：数的整除是六年级数学的重要组成部分，理解基本概念、掌握特殊数的整除特征、理解质数合数、掌握公因数公倍数的求法，并能灵活应用于实际问题，是学好这部分的关键。**

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