《4年级上册运算律数学思维导图》
中心主题：运算律
一、 加法运算律
1. 加法交换律
- 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
- 公式： a + b = b + a
- 思维导图分支：
- 概念理解： 重点理解“交换位置”，“和不变”。
- 应用场景：
- 简化计算：例如，47 + 28 + 53 = 47 + 53 + 28 = 100 + 28 = 128。
- 验算加法：交换加数位置重新计算，检查结果是否一致。
- 易错点：
- 混淆加法交换律与减法。减法没有交换律。
- 忘记“交换”的本质，仅仅是数字顺序的调整。
- 例题：
- 计算 25 + 75 + 18，运用加法交换律简便计算。
- 填空：36 + ___ = 64 + 36。
2. 加法结合律
- 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
- 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
- 思维导图分支：
- 概念理解： 重点理解“先算谁”，“和不变”。
- 应用场景：
- 简化计算：例如，88 + 104 + 96 = 88 + (104 + 96) = 88 + 200 = 288。
- 凑整法：寻找能凑成整十、整百、整千的数。
- 易错点：
- 混淆加法结合律与加法交换律。结合律是运算顺序的改变，交换律是数字位置的改变。
- 忘记括号的使用，导致运算顺序错误。
- 例题：
- 计算 175 + 25 + 125，运用加法结合律简便计算。
- 填空：(45 + 55) + 20 = 45 + (___ + 20)。
3. 加法运算律综合运用
- 思维导图分支：
- 策略：
- 观察：仔细观察算式中数字的特点，寻找可以凑整的数。
- 判断：判断能否运用交换律和结合律。
- 运用：灵活运用运算律进行简便计算。
- 例题：
- 计算 48 + 25 + 52 + 75。 (先用交换律，再用结合律)
- 计算 123 + 45 + 77 + 55。
- 策略：
二、 乘法运算律
1. 乘法交换律
- 定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
- 公式： a × b = b × a
- 思维导图分支：
- 概念理解： 重点理解“交换位置”，“积不变”。
- 应用场景：
- 简化计算：例如，25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700。
- 验算乘法：交换乘数位置重新计算，检查结果是否一致。
- 易错点：
- 混淆乘法交换律与除法。除法没有交换律。
- 认为只有乘法交换律可以交换位置，忽略了加法交换律。
- 例题：
- 计算 125 × 9 × 8，运用乘法交换律简便计算。
- 填空：50 × ___ = 8 × 50。
2. 乘法结合律
- 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
- 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
- 思维导图分支：
- 概念理解： 重点理解“先算谁”，“积不变”。
- 应用场景：
- 简化计算：例如，25 × 48 × 4 = 25 × 4 × 48 = 100 × 48 = 4800。
- 凑整法：寻找能凑成整十、整百、整千的数。例如，2 × 5 = 10， 4 × 25 = 100， 8 × 125 = 1000。
- 易错点：
- 混淆乘法结合律与乘法交换律。
- 忘记括号的使用，导致运算顺序错误。
- 例题：
- 计算 125 × 8 × 37，运用乘法结合律简便计算。
- 填空：(2 × 5) × 9 = 2 × (___ × 9)。
3. 乘法分配律
- 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
- 公式： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
- 思维导图分支：
- 概念理解： 重点理解“分配”的概念，以及“和”与“积”的关系。
- 应用场景：
- 简化计算：例如，(40 + 4) × 25 = 40 × 25 + 4 × 25 = 1000 + 100 = 1100。
- 提取公因数：例如， 36 × 101 = 36 × (100 + 1) = 36 × 100 + 36 × 1 = 3600 + 36 = 3636
- 逆用分配律：例如，27 × 36 + 27 × 64 = 27 × (36 + 64) = 27 × 100 = 2700
- 易错点：
- 混淆乘法分配律与其他运算律。
- 忘记分配给每一个数，导致计算错误。 例如，(a + b) × c ≠ a × c + b
- 对减法的分配律的运用：(a - b) × c = a × c - b × c
- 例题：
- 计算 (125 + 8) × 8，运用乘法分配律简便计算。
- 计算 35 × 98 + 35 × 2，运用乘法分配律简便计算。
- 填空：(25 + 15) × 4 = × 4 + × 4。
4. 乘法运算律综合运用
- 思维导图分支：
- 策略：
- 观察：仔细观察算式中数字的特点，寻找可以凑整的数或者公因数。
- 判断：判断能否运用交换律、结合律和分配律。
- 运用：灵活运用运算律进行简便计算。
- 例题：
- 计算 25 × 12 × 4。(结合律)
- 计算 125 × (8 + 4)。 (分配律)
- 计算 38 × 7 + 62 × 7。 (分配律逆用)
- 计算 125 × 24。(拆分法：24 = 8 × 3，再用结合律)
- 计算 99 × 36。(拆分法：99 = 100 - 1，再用分配律)
- 策略：
三、 简便计算的策略总结
- 思维导图分支：
- 凑整法： 寻找能凑成整十、整百、整千的数。
- 拆分法： 将一个数拆分成两个数的和或差，或两个数的积。
- 提取公因数： 逆用乘法分配律，提取相同的因数。
- 变式运用： 灵活运用加法、乘法的运算律，进行适当的变形。
- 整体思想： 将一部分算式看作一个整体，进行简化计算。
- 注意事项：
- 观察数字特点是关键。
- 灵活运用运算律是核心。
- 注意运算顺序，避免错误。
- 验算结果，确保正确性。
四、 运算律的应用拓展
- 思维导图分支：
- 实际问题： 将运算律应用到解决实际问题中，例如计算商品总价、计算面积等。
- 规律探索： 通过观察和分析，发现新的运算规律，例如减法的性质、除法的性质等。(可适当拓展，不作为重点)
- 挑战题： 尝试解决一些更复杂的简便计算问题，提高计算能力和思维能力。
五、 练习与巩固
- 思维导图分支：
- 基础练习： 巩固加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律的基本运用。
- 综合练习： 提高运用多种运算律进行简便计算的能力。
- 拓展练习： 挑战更复杂的简便计算问题，培养思维的灵活性。