《高中必修一思维导图》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1 集合的概念与表示

1.1.1 集合的概念

• 定义： 具有共同性质的确定、互异、无序的对象构成的整体。
• 元素的性质： 确定性、互异性、无序性。

1.1.2 集合的表示方法

• 列举法： 将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
• 描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合。 {x | p(x)}
• Venn图法： 用封闭曲线的内部代表集合。

1.2 集合间的基本关系

1.2.1 子集

• 定义： 若集合A的任意元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 A⊆B。
• 性质：
  • A⊆A
  • ∅⊆A
  • A⊆B且B⊆C => A⊆C

1.2.2 真子集

• 定义： 若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作 A⊂B。

1.2.3 集合相等

• 定义： 若A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记作 A=B。

1.2.4 空集

• 定义： 不含任何元素的集合。
• 性质： ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

1.3 集合的基本运算

1.3.1 并集

• 定义： 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作 A∪B。
• 表达式： A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}

1.3.2 交集

• 定义： 由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，记作 A∩B。
• 表达式： A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}

1.3.3 补集

• 定义： 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，记作 CᵤA。
• 表达式： CᵤA = {x | x∈U 且 x∉A}

2. 常用逻辑用语

2.1 命题及其关系

2.1.1 命题

• 定义： 可以判断真假的语句。
• 构成： 条件（p）和结论（q）。
• 真假： 真命题，假命题。

2.1.2 命题的否定

• 定义： 对原命题的否定。
• 记法： ¬p （读作“非p”）

2.1.3 四种命题

• 原命题： 若p，则q。
• 逆命题： 若q，则p。
• 否命题： 若¬p，则¬q。
• 逆否命题： 若¬q，则¬p。
• 关系： 原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

2.2 充分条件与必要条件

2.2.1 充分条件

• 定义： 若p => q，则p是q的充分条件。

2.2.2 必要条件

• 定义： 若q => p，则p是q的必要条件。

2.2.3 充要条件

• 定义： 若p <=> q，则p是q的充要条件。

2.3 全称量词与存在量词

2.3.1 全称量词

• 符号： ∀
• 含义： 所有，任意。 (例如：∀x∈A, p(x))
• 全称命题的否定： ¬(∀x∈A, p(x)) <=> ∃x∈A, ¬p(x)

2.3.2 存在量词

• 符号： ∃
• 含义： 存在，至少有一个。 (例如：∃x∈A, p(x))
• 存在命题的否定： ¬(∃x∈A, p(x)) <=> ∀x∈A, ¬p(x)

二、函数概念与基本初等函数（Ⅰ）

1. 函数的概念与性质

1.1 函数的概念

1.1.1 函数的定义

• 定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
• 定义域： 集合A。
• 值域： {y | y=f(x), x∈A}

1.1.2 函数的表示法

• 解析法： 用数学表达式表示函数。
• 图象法： 用函数图象表示函数。
• 列表法： 用表格形式表示函数。

1.2 函数的性质

1.2.1 单调性

• 单调递增： 对于定义域内的任意x₁, x₂，若x₁ < x₂，则f(x₁) < f(x₂)。
• 单调递减： 对于定义域内的任意x₁, x₂，若x₁ < x₂，则f(x₁) > f(x₂)。

1.2.2 奇偶性

• 奇函数： f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
• 偶函数： f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
• 定义域： 若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称。

1.2.3 周期性

• 定义： 存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)。
• 周期： T。

2. 基本初等函数（Ⅰ）

2.1 指数函数

2.1.1 指数函数的定义

• 定义： y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
• 定义域： R
• 值域： (0, +∞)

2.1.2 指数函数的图象与性质

• 图象： a > 1 时单调递增， 0 < a < 1 时单调递减。
• 性质：
  • 恒过 (0, 1) 点
  • a > 1 时，x > 0，y > 1; x < 0, 0 < y < 1.
  • 0 < a < 1 时，x > 0，0 < y < 1; x < 0, y > 1.

2.2 对数函数

2.2.1 对数函数的定义

• 定义： y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)
• 定义域： (0, +∞)
• 值域： R

2.2.2 对数函数的图象与性质

• 图象： a > 1 时单调递增， 0 < a < 1 时单调递减。
• 性质：
  • 恒过 (1, 0) 点
  • a > 1 时，x > 1，y > 0; 0 < x < 1, y < 0.
  • 0 < a < 1 时，x > 1，y < 0; 0 < x < 1, y > 0.

2.2.3 对数的运算性质

• logₐ(MN) = logₐM + logₐN
• logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
• logₐMⁿ = nlogₐM
• 换底公式: logₐb = logc(b) / logc(a)

2.3 幂函数

2.3.1 幂函数的定义

• 定义： y = xᵃ (α ∈ R)
• 定义域： 根据α的不同而不同。
• 值域： 根据α的不同而不同。

2.3.2 常见幂函数的图象与性质

• y = x
• y = x²
• y = x³
• y = x^(1/2)
• y = x⁻¹ = 1/x
• 图像及性质分析：根据α值不同，图像经过不同象限，单调性不同。

3. 函数的应用

3.1 函数与方程

3.1.1 函数零点的概念

• 定义： 使f(x) = 0的x的值。

3.1.2 二分法求方程的近似解

• 步骤：
  • 确定区间[a, b]，验证f(a)f(b) < 0。
  • 求区间(a, b)的中点c。
  • 计算f(c)。
  • 若f(c) = 0，则c是方程的根；若f(a)f(c) < 0，则令b = c；若f(c)f(b) < 0，则令a = c。
  • 重复步骤2-4，直到满足精度要求。

3.2 函数模型及其应用

3.2.1 常见的函数模型

• 一次函数
• 二次函数
• 指数函数
• 对数函数
• 幂函数

3.2.2 数学建模的基本步骤

• 现实问题 => 数学模型 => 数学求解 => 实际应用

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