《高一数学必修一思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

A. 集合

1. 集合的概念

• 定义: 一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
• 元素: 集合中的每个对象称为该集合的元素。
• 元素的特性:
  • 确定性: 必须明确指定哪些对象属于该集合。
  • 互异性: 集合中的元素必须是互不相同的。
  • 无序性: 集合中元素的排列顺序是无关紧要的。

2. 集合的表示

• 列举法: 将集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号"{}"括起来。 例如：{1, 2, 3}
• 描述法: 用集合所含元素的共同特征来表示集合。 例如：{x | x > 3}
• 图像法 (Venn图): 用封闭曲线的内部来表示集合。

3. 集合的分类

• 有限集: 含有有限个元素的集合。
• 无限集: 含有无限个元素的集合。
• 空集: 不含任何元素的集合，记作 ∅ 。

4. 集合间的关系

• 子集 (⊆): 集合 A 的所有元素都属于集合 B，则 A 是 B 的子集。 A ⊆ B
• 真子集 (⊂): 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 A 是 B 的真子集。 A ⊂ B
• 相等 (=): 集合 A 和集合 B 包含相同的元素，则 A = B。
• 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

5. 集合的运算

• 并集 (∪): 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A ∪ B。
  • A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
• 交集 (∩): 由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A ∩ B。
  • A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
• 补集 (∁UA): 在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合，记作 ∁UA。
  • ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}

B. 常用逻辑用语

1. 命题

• 定义: 可以判断真假的语句。
• 分类:
  • 真命题: 判断为真的命题。
  • 假命题: 判断为假的命题。

2. 逻辑联结词

• 且 (∧): p ∧ q 当 p 和 q 均为真时，p ∧ q 为真，否则为假。
• 或 (∨): p ∨ q 当 p 和 q 中至少有一个为真时，p ∨ q 为真，否则为假。
• 非 (¬): ¬p 当 p 为真时，¬p 为假；当 p 为假时，¬p 为真。

3. 复合命题的真值表

• 系统地展示各种逻辑联结词下复合命题的真假情况。

4. 全称量词与存在量词

• 全称量词 (∀): 表示“所有”、“任意”等含义。
  • 含有全称量词的命题称为全称命题。 例如: ∀x ∈ A, p(x)
• 存在量词 (∃): 表示“存在”、“至少有一个”等含义。
  • 含有存在量词的命题称为特称命题。 例如: ∃x ∈ A, p(x)

5. 命题的否定

• 全称命题的否定: 将全称量词改为存在量词，并将结论否定。
  • ¬(∀x ∈ A, p(x)) 等价于 ∃x ∈ A, ¬p(x)
• 特称命题的否定: 将存在量词改为全称量词，并将结论否定。
  • ¬(∃x ∈ A, p(x)) 等价于 ∀x ∈ A, ¬p(x)

6. 充分条件与必要条件

• 充分条件: 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件。 （p能推出q，但q不一定能推出p）
• 必要条件: 若 p ⇒ q，则 q 是 p 的必要条件。 （q必须成立，p才能成立）
• 充要条件: 若 p ⇔ q，则 p 是 q 的充要条件，也称等价条件。 （p和q互相推出）

II. 函数概念与基本初等函数 (I)

A. 函数的概念与表示

1. 函数的定义

• 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
• 定义域 (A): 集合 A 称为函数的定义域。
• 值域: {f(x) | x ∈ A} 称为函数的值域。

2. 函数的表示方法

• 解析法: 用数学表达式表示函数。 例如：f(x) = x² + 1
• 图像法: 用图像表示函数。
• 列表法: 列出一些自变量与对应的函数值。

3. 函数的定义域

• 使函数有意义的自变量 x 的取值范围。
• 常见的定义域限制：
  • 分母不为零。
  • 偶次根式被开方数非负。
  • 对数真数大于零。
  • 零指数幂的底数不为零。

4. 函数的值域

• 函数值的集合。
• 常用求值域的方法：
  • 观察法。
  • 配方法。
  • 反函数法。
  • 判别式法。
  • 单调性法。

5. 函数的图像

• 由所有点 (x, f(x)) 构成的图形，其中 x 属于定义域。

B. 函数的基本性质

1. 单调性

• 单调递增: 在区间 (a, b) 上，如果对于任意的 x1, x2 ∈ (a, b)，且 x1 < x2，都有 f(x1) < f(x2)，则称函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递增。
• 单调递减: 在区间 (a, b) 上，如果对于任意的 x1, x2 ∈ (a, b)，且 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2)，则称函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减。

2. 奇偶性

• 偶函数: 对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。 偶函数图像关于 y 轴对称。
• 奇函数: 对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。 奇函数图像关于原点对称。
• 注:
  • 如果一个函数的定义域不关于原点对称，则它既不是奇函数也不是偶函数。
  • 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x) = 0 (定义域关于原点对称)。

C. 基本初等函数 (I)

1. 指数函数

• 定义: 函数 y = ax (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数。
• 图像与性质: 依据 a > 1 和 0 < a < 1 分类讨论，分别研究其单调性、值域等。
• 注意底数 a 的取值范围。

2. 对数函数

• 定义: 函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做对数函数。
• 图像与性质: 依据 a > 1 和 0 < a < 1 分类讨论，分别研究其单调性、值域等。
• 注意底数 a 的取值范围。
• 对数运算性质:
  • loga(MN) = logaM + logaN
  • loga(M/N) = logaM - logaN
  • logaMn = nlogaM

3. 幂函数

• 定义: 函数 y = xα (α ∈ R) 叫做幂函数。
• 图像与性质: 随着 α 的取值变化，图像及性质也会发生变化。 常见的有 y=x, y=x², y=x³, y=1/x, y=√x等，需掌握这些常见幂函数的图像和性质。

D. 函数的应用

1. 函数与方程

• 零点: 对于函数 y = f(x)，使 f(x) = 0 的 x 叫做函数的零点。
• 方程的根与函数的零点: 函数 y = f(x) 的零点就是方程 f(x) = 0 的根。
• 二分法: 用于求解方程近似解的方法。

2. 函数模型及其应用

• 建立实际问题的函数模型，解决实际问题。
• 常见的函数模型：
  • 一次函数模型。
  • 二次函数模型。
  • 指数函数模型。
  • 对数函数模型。
  • 分段函数模型。

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