复数向量思维导图
- 定义
- 一组有序的复数 (z₁, z₂, ..., zn) 构成的 n 元组
- 每个分量 zi ∈ C (复数集合)
- 表示 n 维复向量空间 Cⁿ 中的一个元素
- 通常表示为列向量或行向量
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表示方法
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列向量形式：
⎡ z₁ ⎤ ⎢ z₂ ⎥ ⎢ ...⎥ ⎣ zn ⎦
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行向量形式：[z₁, z₂, ..., zn]
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分量表示：v = (z₁, z₂, ..., zn)
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- 基本运算
- 向量加法 (要求同维度)
- 分量对应相加
- u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ..., un + vn)
- 向量减法 (要求同维度)
- 分量对应相减
- u - v = (u₁ - v₁, u₂ - v₂, ..., un - vn)
- 标量乘法 (标量 c ∈ C)
- 标量 c 乘以向量 v 的每个分量
- c v = (cz₁, cz₂, ..., czn)
- 向量加法 (要求同维度)
- 复共轭与共轭转置
- 向量的复共轭 (v̄ 或 v*)
- 每个分量取复共轭
- v̄ = (z₁̄, z₂̄, ..., zn̄)
- 向量的共轭转置 (vᴴ 或 v*)
- 对向量取复共轭后再转置
- 若 v 是列向量，vᴴ 是行向量：vᴴ = [z₁̄, z₂̄, ..., zn̄]
- 若 v 是行向量，vᴴ 是列向量：vᴴ = [z₁̄, z₂̄, ..., zn̄]ᵀ
- 在物理学 (如量子力学) 中常用 * 表示共轭转置
- 向量的复共轭 (v̄ 或 v*)
- 范数 (Norm)
- 衡量向量“长度”或“大小”
- 最常用的是 L₂ 范数 (欧几里得范数)
- ||v||₂ = √(|z₁|² + |z₂|² + ... + |zn|²)
- 其中 |zi| 是复数 zi 的模，|zi|² = zi * z₁̄
- 可以用内积表示：||v||₂ = √(<v, v>)
- 性质：
- 非负性：||v|| ≥ 0
- 正定性：||v|| = 0 当且仅当 v = 0
- 齐次性：||cv|| = |c| ||v|| (c ∈ C)
- 三角不等式：||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
- 内积 (Inner Product)
- 复向量空间上的“点积”推广，称为 Hermitian 内积
- 定义：<u, v> = u₁v₁̄ + u₂v₂̄ + ... + unvn̄
- 使用共轭转置表示：<u, v> = uᴴv (u 是行向量，v 是列向量时) 或 <u, v> = vᴴu (u, v 都是列向量时，更常见)
- 性质：
- 共轭对称性：<u, v> = <v, u>̄
- 对第一个参数是线性的：<cu + dw, v> = c<u, v> + d<w, v> (c, d ∈ C)
- 对第二个参数是共轭线性的：<u, cv + dw> = c̄<u, v> + d̄<u, w> (c, d ∈ C)
- 非负性：<v, v> ≥ 0
- 正定性：<v, v> = 0 当且仅当 v = 0
- 几何解释与正交性
- 直接的高维复向量几何解释困难
- 但内积提供了几何概念的推广
- 正交性 (Orthogonality)：当 <u, v> = 0 时，称向量 u 和 v 正交
- 正交的概念在复向量空间中非常重要，用于定义正交基等
- 应用领域
- 量子力学：量子态由复向量 (态矢量) 表示，态空间的内积用于计算概率幅
- 信号处理：傅里叶分析中常用复指数信号和复向量表示频域信息，数字信号处理中的滤波器设计
- 电气工程：分析交流电路时，电压、电流、阻抗常表示为复数，多相系统可用复向量描述
- 线性代数：处理复数矩阵、特征值/特征向量，在酉空间 (Unitary spaces) 中建立理论
- 控制理论：系统分析与设计
- 与实向量的关系
- 复向量是实向量的推广
- 实向量空间 Rn 可以看作是复向量空间 Cn 中虚部全为零的特例 (虽然严格来说是实子空间)
- 复向量空间的许多概念 (如线性无关、基、子空间、内积、范数) 是实向量空间对应概念的推广
- 相关概念
- 线性组合 (Linear Combination)
- 线性无关 (Linear Independence)
- 生成空间 (Span)
- 基 (Basis)
- 维度 (Dimension)
- 正交基 (Orthogonal Basis) 和 规范正交基 (Orthonormal Basis)
- 子空间 (Subspace)