方阵问题思维导图
方阵问题思维导图
1. 基础概念
1.1 定义
- 矩阵: 由m行n列的数组成的矩形阵列
- 方阵: 行数等于列数的矩阵 (m=n)
- 阶数: 方阵的行数（或列数）
1.2 分类
- 零矩阵: 所有元素均为零的矩阵
- 单位矩阵 (I): 主对角线元素为1，其余为0
- 对角矩阵: 非主对角线元素均为零的矩阵
- 数量矩阵: 主对角线元素相等，非主对角线元素为零（对角矩阵特例）
- 三角矩阵
- 上三角矩阵: 主对角线下方元素均为零
- 下三角矩阵: 主对角线上方元素均为零
- 对称矩阵: A = Aᵀ (aᵢⱼ = aⱼᵢ)
- 反对称矩阵: A = -Aᵀ (aᵢⱼ = -aⱼᵢ, 对角线元素为零)
- 正交矩阵: AᵀA = AAᵀ = I (其逆等于其转置 A⁻¹ = Aᵀ)
- 幂等矩阵: A² = A
- 幂零矩阵: 存在正整数k使得 Aᵏ = 0
- 对合矩阵: A² = I
2. 基本运算
2.1 加法与减法
2.2 数乘
2.3 乘法
- 矩阵 A (m x p) 与 B (p x n) 相乘得到 C (m x n)
- C 的 cᵢⱼ = ∑ k=1 to p (aᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes> * b<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>j)
- 性质
- 结合律: (AB)C = A(BC)
- 分配律: A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC
- 一般不满足交换律: AB ≠ BA
- 可能存在AB=0 但 A≠0, B≠0
2.4 转置
- 将矩阵的行换成列，列换成行，记为Aᵀ
- 性质
- (Aᵀ)ᵀ = A
- (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
- (kA)ᵀ = kAᵀ
- (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
3. 特征量
3.1 行列式
- 定义: 方阵A计算出的一个标量，记为det(A) 或 |A|
- 计算方法
- 按行/列展开: det(A) = ∑ j=1 to n (-1)ⁱ⁺ʲ aᵢⱼ Mᵢⱼ = ∑ i=1 to n (-1)ⁱ⁺ʲ aᵢⱼ Cᵢⱼ (Mᵢⱼ为余子式，Cᵢⱼ为代数余子式)
- 萨吕法则 (Sarrus' Rule): 适用于3x3矩阵
- 初等变换法: 将矩阵化为三角矩阵，行列式等于主对角线元素乘积（注意变换对行列式的影响）
- 性质
- det(A) = det(Aᵀ)
- 互换两行/列，行列式变号
- 某行/列乘以k，行列式乘以k
- 某行/列的k倍加到另一行/列，行列式不变
- 有零行/列，行列式为0
- 有比例行/列，行列式为0
- det(AB) = det(A)det(B)
- det(kA) = kⁿdet(A) (A是n阶方阵)
3.2 逆矩阵
- 定义: 对于n阶方阵A，若存在同阶方阵B使得 AB = BA = I (单位矩阵)，则称A可逆，B是A的逆矩阵，记为A⁻¹
- 存在条件: A可逆当且仅当 det(A) ≠ 0 (A为非奇异矩阵)
- 计算方法
- 伴随矩阵法: A⁻¹ = A / det(A) (A是A的伴随矩阵，A*由代数余子式Cᵢⱼ组成的矩阵C的转置)
- 初等变换法: 将 (A | I) 通过初等行变换化为 (I | A⁻¹)
- 性质
- (A⁻¹)⁻¹ = A
- (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ (k ≠ 0)
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
- (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
- det(A⁻¹) = 1 / det(A)
3.3 秩
- 定义: 矩阵A中最高阶非零子式的阶数，记为r(A) 或 rank(A)
- 计算方法
- 子式定义法: 找到最高阶非零子式
- 初等变换法: 将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形，非零行的行数即为秩
- 性质
- 0 ≤ r(A_mxn) ≤ min(m, n)
- r(A) = r(Aᵀ)
- r(AB) ≤ min(r(A), r(B))
- r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
- 对n阶方阵A，r(A) = n 当且仅当 det(A) ≠ 0 (A可逆)
- r(A) < n 当且仅当 det(A) = 0 (A奇异)
4. 特征值与特征向量
4.1 定义
- 对于n阶方阵A，若存在数λ和非零向量x，使得 Ax = λx
- λ称为A的特征值
- x称为A对应于特征值λ的特征向量
4.2 特征方程
- Ax = λx 可写为 (A - λI)x = 0
- 该齐次线性方程组有非零解的条件是 det(A - λI) = 0
- det(A - λI) = 0 称为A的特征方程
- 特征方程是关于λ的一元n次多项式方程，其根即为A的特征值
4.3 特征向量的计算
- 对于每个特征值λ₀，代入 (A - λ₀I)x = 0
- 解该齐次线性方程组，求得的基础解系及其线性组合 (非零向量) 即为对应于λ₀的所有特征向量
4.4 性质
- n阶方阵恰有n个特征值 (可能重复，可能为复数)
- 方阵的特征值之和等于矩阵的迹 (trace(A) = ∑ aᵢᵢ)
- 方阵的特征值之积等于矩阵的行列式 (det(A))
- 对称矩阵的特征值为实数
- 对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交
- 相似矩阵有相同的特征值 (但不一定有相同的特征向量)
- 若λ是A的特征值，则λᵏ是Aᵏ的特征值 (k为正整数)
- 若A可逆，λ是A的特征值，则1/λ是A⁻¹的特征值
5. 特殊方阵
- 进一步讨论其性质和特殊用途 (如正交矩阵用于旋转变换，对称矩阵可进行相似对角化)
6. 应用
6.1 线性方程组
- 形式: Ax = b
- 解法
- 逆矩阵法: 若A可逆，x = A⁻¹b
- 克拉默法则: 利用行列式 (需A可逆)
- 高斯消元法: 通过初等行变换求解 (适用于任意线性方程组)
- 利用秩判断解的存在性与唯一性
6.2 线性变换
- 矩阵可以表示平面或空间的线性变换 (旋转、缩放、剪切等)
- 特征值和特征向量描述了在线性变换下方向不变（只改变大小）的向量及伸缩因子
6.3 二次型
- 可以通过对称矩阵表示，并利用矩阵的理论进行标准化 (如配方法或正交变换法)
6.4 微分方程组
- 常系数线性微分方程组的求解常借助于矩阵理论，特别是特征值和特征向量
6.5 其他领域
- 概率统计 (协方差矩阵)
- 图论 (邻接矩阵、关联矩阵)
- 量子力学 (算符表示)
- 计算机图形学
- 工程学、经济学、物理学等众多学科
