《数学思维导图四年级下》

一、运算定律

1. 加法运算定律

1.1 加法交换律

• 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
• 公式： a + b = b + a
• 举例： 5 + 3 = 3 + 5 = 8
• 应用： 简便计算，验算加法。

1.2 加法结合律

• 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
• 举例： (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
• 应用： 简便计算，尤其是当有能凑成整十、整百的数时。

2. 乘法运算定律

2.1 乘法交换律

• 定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
• 公式： a × b = b × a
• 举例： 4 × 5 = 5 × 4 = 20
• 应用： 简便计算，验算乘法。

2.2 乘法结合律

• 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
• 举例： (2 × 5) × 7 = 2 × (5 × 7) = 70
• 应用： 简便计算，尤其是当有能凑成整十、整百的数时。

2.3 乘法分配律

• 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
• 公式： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × c + b × c = (a + b) × c
• 举例： (3 + 4) × 5 = 3 × 5 + 4 × 5 = 35
• 应用： 简便计算，拆分数字，逆向运用。

3. 减法的性质

• 性质一： 一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。
• 公式： a - b - c = a - (b + c)
• 举例： 10 - 2 - 3 = 10 - (2 + 3) = 5
• 性质二： 在减法中，被减数和减数同时加上或减去一个相同的数，差不变。
• 公式： a - b = (a + c) - (b + c) = (a - c) - (b - c)
• 举例： 8 - 3 = (8 + 2) - (3 + 2) = (8 - 1) - (3 - 1) = 5

4. 除法的性质

• 性质一： 一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。
• 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
• 举例： 24 ÷ 2 ÷ 3 = 24 ÷ (2 × 3) = 4
• 性质二： 在除法中，被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变。
• 公式： a ÷ b = (a × c) ÷ (b × c) = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) (c ≠ 0)
• 举例： 12 ÷ 4 = (12 × 2) ÷ (4 × 2) = (12 ÷ 2) ÷ (4 ÷ 2) = 3

二、小数的意义和性质

1. 小数的意义

• 定义： 用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫做小数。
• 计数单位： 0.1, 0.01, 0.001...
• 关系： 每相邻两个计数单位之间的进率是10。
• 组成： 由整数部分、小数点和小数部分组成。

2. 小数的读法和写法

• 读法： 整数部分按整数读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每一个数字。
• 写法： 整数部分按整数写法写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一个数字。

3. 小数的性质

• 定义： 小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
• 应用： 化简小数，改写小数。

4. 小数的大小比较

• 方法： 先比较整数部分，整数部分大的数就大；整数部分相同，就比较小数部分，从十分位开始，依次比较各个数位上的数字。

5. 小数点移动引起小数大小的变化

• 向右移动： 小数点向右移动一位，小数扩大到原来的10倍；移动两位，扩大到原来的100倍；移动三位，扩大到原来的1000倍……
• 向左移动： 小数点向左移动一位，小数缩小到原来的1/10；移动两位，缩小到原来的1/100；移动三位，缩小到原来的1/1000……

6. 单位换算

• 高级单位转化成低级单位： 乘以进率，小数点向右移动。
• 低级单位转化成高级单位： 除以进率，小数点向左移动。
• 常见单位：
  • 长度单位：米、分米、厘米、毫米 (1米=10分米=100厘米=1000毫米)
  • 质量单位：千克、克 (1千克=1000克)
  • 面积单位：平方米、平方分米、平方厘米 (1平方米=100平方分米=10000平方厘米)

7. 近似数

• 定义： 与准确数很接近的数叫做近似数。
• 方法： 通常采用四舍五入法。
• 保留位数： 精确到哪一位，就看它的下一位，四舍五入。

三、三角形

1. 三角形的定义

• 定义： 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

2. 三角形的特性

• 稳定性： 三角形具有稳定性。

3. 三角形的分类

3.1 按角分

• 锐角三角形： 三个角都是锐角的三角形。
• 直角三角形： 有一个角是直角的三角形。
• 钝角三角形： 有一个角是钝角的三角形。

3.2 按边分

• 不等边三角形： 三条边都不相等的三角形。
• 等腰三角形： 有两条边相等的三角形。
  • 等边三角形： 三条边都相等的三角形，也叫正三角形。（是特殊的等腰三角形）

4. 三角形的内角和

• 结论： 三角形的内角和是180度。

5. 三角形边的关系

• 结论： 三角形任意两边之和大于第三边。

6. 高和底

• 高： 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
• 底： 垂足所在的边叫做三角形的底。

四、图形的运动（二）

1. 轴对称图形

• 定义： 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 常见轴对称图形： 正方形、长方形、圆、等腰三角形、等边三角形、正五边形等。

2. 平移

• 定义： 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
• 特征： 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

3. 旋转

• 定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动叫做旋转。
• 特征： 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。
• 旋转三要素： 旋转中心，旋转方向，旋转角度。

五、平均数与条形统计图

1. 平均数

• 定义： 将几个大小不等的数量的总和除以它们的份数，求得的数就是平均数。
• 公式： 平均数 = 总数量 ÷ 总份数
• 意义： 平均数能较好地反映一组数据的总体水平。

2. 条形统计图

• 定义： 用直条的长短来表示各种数量的多少的统计图。
• 特点： 能清楚地表示出各种数量的多少。
• 制作步骤：
  • 确定横轴和纵轴表示的内容。
  • 确定单位长度表示的数量。
  • 根据数据画出直条。
  • 标明数据。

六、小数的加法和减法

1. 小数加减法的计算方法

• 方法： 相同数位对齐（小数点对齐），从最低位算起，按整数加减法的计算方法计算，得数的小数点要和横线上的小数点对齐。

2. 小数加减法的验算

• 方法：
  • 加法：交换加数的位置再算一遍，或者用和减去一个加数。
  • 减法：用差加上减数，或者用被减数减去差。

3. 整数加法运算定律推广到小数

• 结论： 整数的加法交换律和结合律，对于小数加法同样适用。
• 应用： 利用加法运算定律进行简便计算。

七、数学广角鸡兔同笼

1. 鸡兔同笼问题的特点

• 已知总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

2. 解题方法

• 假设法：
  • 假设全是鸡，然后根据总脚数进行调整。
  • 假设全是兔，然后根据总脚数进行调整。
• 列方程解：
  • 设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意列出方程组。
• 抬腿法: 假设训练有素的鸡和兔子一起抬起两条腿，则鸡坐在地上，兔子还站着两条腿，这时总腿数必然减少，而且减少的数目等于鸡的数量的两倍。然后用减少的总腿数除以2就可以得到鸡的数量，用总头数减去鸡的数量就是兔子的数量。

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