《五年级上册数学小数除法思维导图》

中心主题：小数除法

一、 知识点总览

• 概念理解： 明确小数除法的意义，是整数除法的扩展，用于解决把一个数平均分成若干份求一份是多少的问题，或者求一个数里包含多少个另一个数的问题。
• 计算方法： 熟练掌握小数除以整数、整数除以小数、小数除以小数的计算方法。
• 商的近似数： 能够根据实际情况，运用“四舍五入”法求商的近似数。
• 循环小数： 认识循环小数，掌握循环小数的简便写法，并能区分有限小数和无限小数。
• 解决问题： 运用小数除法的知识解决实际问题，包括单价、数量、总价之间的关系，以及其他类型的实际问题。
• 混合运算： 掌握包含小数除法的混合运算顺序，并能正确计算。

二、 具体内容分解

2.1 小数除以整数

• 意义：与整数除法意义相同，即平均分。
• 计算方法：
  • 竖式计算：
    • 按照整数除法的法则进行计算。
    • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    • 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
  • 特殊情况：
    • 被除数小于除数时，商的整数部分是0，在0的后面点上小数点继续除。
    • 整数部分够商1，但是除后余数是0，不够除时，商0占位。
• 思维拓展： 理解被除数扩大或缩小多少倍，商也相应地扩大或缩小相同的倍数（除数不变）。

2.2 整数除以小数

• 计算方法：
  • 转化： 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
  • 依据： 利用商不变的性质，同时扩大被除数和除数相同的倍数，使除数变为整数。
  • 步骤：
    1. 移动除数的小数点，使它变成整数。
    2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
    3. 按照除数是整数的小数除法进行计算。

2.3 小数除以小数

• 计算方法：
  • 转化： 同样利用商不变的性质，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
  • 步骤：
    1. 移动除数的小数点，使它变成整数。
    2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
    3. 按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 易错点： 移动小数点时，容易忘记同时移动被除数的小数点，或者移动位数不一致。

2.4 商的近似数

• 意义： 在实际问题中，有时不需要求出准确的商，只需要求出商的近似值。
• 方法：
  • 四舍五入法： 按照题目要求保留相应位数（如保留一位小数、保留两位小数等）。
  • 进一法： 实际问题中，有时需要将商进一位，即使末位小于5，也要向前进1（例如：装东西需要几个箱子）。
  • 去尾法： 实际问题中，有时需要将商舍去，即使末位大于等于5，也要舍去（例如：做衣服用布料）。
• 应用：
  • 理解三种求近似数的方法的适用场景，根据实际情况灵活选择。
  • 注意单位名称的正确书写。

2.5 循环小数

• 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 表示方法：
  • 简便写法： 在第一个循环节的首位和末位数字上点上圆点，或者只在循环节上方的最上方画一条横线。
  • 示例： 3.333… 写作 3.3(上面有点) 或 3.3̄
• 分类：
  • 纯循环小数： 循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
  • 混循环小数： 循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
• 有限小数和无限小数：
  • 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数。
  • 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数，包括循环小数和无限不循环小数。
• 循环节： 循环小数中，依次不断重复出现的数字叫做循环节。

2.6 解决问题

• 基本数量关系：
  • 总价 = 单价 × 数量
  • 单价 = 总价 ÷ 数量
  • 数量 = 总价 ÷ 单价
• 常见题型：
  • 求单价、数量或总价。
  • 比较单价的大小。
  • 需要求商的近似数的实际问题。
  • 需要灵活运用进一法或去尾法的实际问题。
• 解题步骤：
  1. 读懂题意，理解数量关系。
  2. 分析题目的条件和问题，确定解题思路。
  3. 列式计算，并验算。
  4. 写出答案，注意带上正确的单位名称。

2.7 混合运算

• 运算顺序：
  • 在没有括号的算式里，先算乘除法，后算加减法。
  • 在有括号的算式里，先算括号里面的，再算括号外面的。
  • 同级运算，从左往右依次计算。
• 简便运算： 灵活运用乘法分配律、结合律、交换律等进行简便计算。
• 注意： 确保计算的准确性，养成良好的验算习惯。

三、 学习方法与技巧

• 熟练掌握竖式计算： 通过大量的练习，提高计算速度和准确率。
• 理解算理： 不要死记硬背计算方法，要理解其中的道理。例如，为什么移动小数点可以转化成整数除法。
• 多做练习： 通过做大量的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
• 错题整理： 建立错题本，及时分析错误原因，避免重复犯错。
• 联系生活实际： 将所学知识应用到生活实际中，增强学习的兴趣和动力。
• 思维导图的运用： 定期回顾思维导图，巩固知识体系，查漏补缺。

四、 易错点总结

• 小数点对齐问题（尤其是小数除以整数时）。
• 移动小数点位数不一致。
• 商中间或末尾有0的除法。
• 求商的近似数时，忘记保留位数。
• 循环小数的简便写法不规范。
• 解决实际问题时，对数量关系理解不透彻。
• 混合运算顺序错误。
• 验算不认真。

五、 拓展延伸

• 可以尝试使用计算器进行小数除法的计算，但要理解原理，不能完全依赖计算器。
• 可以学习更高级的小数除法知识，例如无限循环小数的化简。
• 可以尝试将小数除法应用于更复杂的实际问题中。

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