《四年级下册第四单元思维导图》

一、运算定律

1. 加法运算定律

1.1 加法交换律

• 定义: 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
• 公式: a + b = b + a
• 示例: 5 + 3 = 3 + 5 = 8
• 应用: 简化计算，验算加法。

1.2 加法结合律

• 定义: 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 公式: (a + b) + c = a + (b + c)
• 示例: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
• 应用: 灵活组合加数，使计算更简便，特别是凑整运算。

2. 乘法运算定律

2.1 乘法交换律

• 定义: 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
• 公式: a × b = b × a
• 示例: 4 × 5 = 5 × 4 = 20
• 应用: 简化计算，验算乘法。

2.2 乘法结合律

• 定义: 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式: (a × b) × c = a × (b × c)
• 示例: (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3) = 30
• 应用: 灵活组合乘数，使计算更简便，特别是凑整运算。

2.3 乘法分配律

• 定义: 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
• 公式: (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
• 反向应用: a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c) （提取公因数）
• 示例: (3 + 2) × 4 = 3 × 4 + 2 × 4 = 20
• 应用: 简化乘法运算，处理包含加法和乘法的式子。
• 注意: 减法的乘法分配律：(a - b) × c = a × c - b × c 或 a × (b - c) = a × b - a × c

3. 简便计算的应用

3.1 凑整法

• 原理: 利用加法和乘法的运算定律，将数凑成整十、整百、整千数，便于计算。
• 示例: 98 + 102 = (100 - 2) + (100 + 2) = 200
• 技巧: 寻找能够凑成整数的加数或乘数。

3.2 拆分法

• 原理: 将一个数拆分成两个或多个数的和或差，再利用运算定律进行简便计算。
• 示例: 101 × 25 = (100 + 1) × 25 = 100 × 25 + 1 × 25 = 2525
• 技巧: 根据具体题目选择合适的拆分方式。

3.3 提取公因数

• 原理: 利用乘法分配律的逆运算，提取相同的因数，简化计算。
• 示例: 36 × 15 + 64 × 15 = (36 + 64) × 15 = 100 × 15 = 1500
• 技巧: 仔细观察式子中是否存在相同的因数。

3.4 改变运算顺序

• 原理: 利用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律等改变运算顺序，使计算更简便。
• 示例: 25 × 17 × 4 = 25 × 4 × 17 = 100 × 17 = 1700
• 技巧: 优先计算容易计算的部分，例如凑整运算。

二、简便计算的练习

1. 加法简便计算练习

• 例： 175 + 28 + 25 + 72
• 应用加法交换律和结合律，先计算175+25=200, 28+72=100, 然后200+100=300

2. 乘法简便计算练习

• 例：125 × 32 × 25
• 应用乘法交换律和结合律，先计算125×8=1000， 32=4×8， 25×4=100， 然后 1000×100=100000

3. 混合运算简便计算练习

• 例： 38 × 99 + 38
• 应用乘法分配律的逆运算，提取公因数38，即 38 × (99+1) = 38 × 100 = 3800

4. 特殊数值的应用

• 25 × 4 = 100
• 125 × 8 = 1000
• 运用这些特殊值可以快速进行简便计算。
• 例如: 25 x 16 = 25 x 4 x 4 = 100 x 4 = 400

三、解决问题

1. 灵活运用运算定律

• 关键: 认真分析题目，确定合适的运算方法。
• 步骤:
  • 读懂题意，理解题中的数量关系。
  • 分析数据特点，选择合适的运算定律。
  • 列式计算，注意简便计算。
  • 检验答案，确保正确。

2. 实际应用

• 例题: 学校购买了 25 套课桌椅，每张桌子 55 元，每把椅子 45 元，一共花了多少钱？
• 解题思路:
  • 方法一：先算一套课桌椅的价格，再算总价： (55 + 45) × 25 = 100 × 25 = 2500 (元)
  • 方法二：分别计算桌子和椅子的总价，再相加： 55 × 25 + 45 × 25 = (55 + 45) × 25 = 100 × 25 = 2500 (元)
• 答案: 一共花了 2500 元。

3. 多角度思考问题

• 同一个问题可以有多种解决方法，选择最简便的方法。

四、易错点

1. 混淆运算定律

• 注意: 区分加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，乘法分配律。

2. 滥用运算定律

• 注意: 并非所有题目都适合用简便计算，要根据具体情况选择合适的方法。
• 示例: 5 + 3 × 4 不能先算 3×4 再分配，要按照运算顺序先乘除后加减。

3. 符号错误

• 注意: 使用乘法分配律时，注意括号内符号的变化。
• 示例: (a - b) × c = a × c - b × c， 不是 a × c + b × c

4. 忘记检验

• 注意: 计算完成后，要进行检验，确保答案正确。
• 检验方法: 重新计算、估算、逆运算等。

五、总结

• 掌握加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。
• 能够灵活运用运算定律进行简便计算。
• 能够运用运算定律解决实际问题。
• 注意易错点，避免出现错误。

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