《九年级数学思维导图》
一、数与式
1.1 实数
- 1.1.1 定义：
- 有理数：整数、分数（有限小数、无限循环小数）
- 无理数：无限不循环小数
- 1.1.2 分类：
- 正实数、0、负实数
- 1.1.3 性质：
- 相反数、倒数、绝对值
- 1.1.4 运算：
- 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方
- 运算顺序
- 运算律：交换律、结合律、分配律
- 1.1.5 数轴：
- 定义、三要素
- 表示实数
- 比较大小
1.2 整式
- 1.2.1 单项式：
- 定义：数与字母的乘积
- 系数、次数
- 1.2.2 多项式：
- 定义：几个单项式的和
- 项、系数、次数、常数项
- 1.2.3 整式运算：
- 同类项合并
- 幂的运算：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法
- 乘法公式：平方差公式、完全平方公式
- 整式的乘除
1.3 分式
- 1.3.1 定义： A/B，B≠0
- 1.3.2 性质：
- 基本性质：分子分母同乘或同除以一个不为0的数，分式的值不变
- 符号法则
- 1.3.3 运算：
- 分式的加减：同分母、异分母
- 分式的乘除
- 1.3.4 简分式：
- 化简
- 1.3.5 分式方程：
- 定义
- 解法：去分母、验根
1.4 二次根式
- 1.4.1 定义： √(a)，a≥0
- 1.4.2 性质：
- √(a²) = |a|
- √(a)√(b) = √(ab) (a≥0, b≥0)
- √(a)/√(b) = √(a/b) (a≥0, b>0)
- 1.4.3 运算：
- 化简：最简二次根式
- 加减：合并同类二次根式
- 乘除：运用性质
二、方程与不等式
2.1 一元二次方程
- 2.1.1 定义： ax² + bx + c = 0 (a≠0)
- 2.1.2 解法：
- 直接开平方法
- 配方法
- 公式法
- 因式分解法
- 2.1.3 根的判别式： Δ = b² - 4ac
- Δ > 0：两个不相等的实数根
- Δ = 0：两个相等的实数根
- Δ < 0：没有实数根
- 2.1.4 根与系数的关系（韦达定理）：
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁x₂ = c/a
- 2.1.5 应用：
- 实际问题
2.2 不等式与不等式组
- 2.2.1 不等式：
- 性质：传递性、加法性质、乘法性质
- 2.2.2 一元一次不等式（组）：
- 解法
- 数轴表示解集
- 2.2.3 应用：
- 实际问题
三、函数
3.1 一次函数
- 3.1.1 定义： y = kx + b (k≠0)
- 3.1.2 图象：
- 直线
- k > 0：上升
- k < 0：下降
- b：与y轴的交点
- 3.1.3 性质：
- 增减性
- 3.1.4 与坐标轴的交点：
- 与x轴交点：(-b/k, 0)
- 与y轴交点：(0, b)
3.2 反比例函数
- 3.2.1 定义： y = k/x (k≠0)
- 3.2.2 图象：
- 双曲线
- k > 0：一三象限
- k < 0：二四象限
- 3.2.3 性质：
- 增减性
- 3.2.4 应用：
- 实际问题
3.3 二次函数
- 3.3.1 定义： y = ax² + bx + c (a≠0)
- 3.3.2 图象：
- 抛物线
- a > 0：开口向上
- a < 0：开口向下
- 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
- 对称轴：x = -b/2a
- 3.3.3 性质：
- 增减性
- 最值
- 3.3.4 与坐标轴的交点：
- 与x轴交点：解ax² + bx + c = 0
- 与y轴交点：(0, c)
- 3.3.5 顶点式： y = a(x - h)² + k
- 3.3.6 应用：
- 实际问题
四、几何
4.1 相似三角形
- 4.1.1 定义： 对应角相等，对应边成比例
- 4.1.2 判定：
- 平行于三角形一边的直线，截得的三角形与原三角形相似
- 两角对应相等
- 两边对应成比例且夹角相等
- 三边对应成比例
- 4.1.3 性质：
- 对应角相等
- 对应边成比例
- 周长比等于相似比
- 面积比等于相似比的平方
4.2 锐角三角函数
- 4.2.1 定义：
- 正弦：sinA = 对边/斜边
- 余弦：cosA = 邻边/斜边
- 正切：tanA = 对边/邻边
- 4.2.2 特殊角的三角函数值：
- 30°、45°、60°
- 4.2.3 应用：
- 解直角三角形
- 仰角、俯角、坡度、坡角
4.3 圆
- 4.3.1 定义： 到定点距离等于定长的点的集合
- 4.3.2 概念：
- 圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角
- 4.3.3 性质：
- 垂径定理
- 圆心角、弧、弦的关系
- 圆周角定理
- 4.3.4 位置关系：
- 点与圆
- 直线与圆：相交、相切、相离
- 圆与圆：外离、外切、相交、内切、内含
- 4.3.5 切线的判定与性质：
- 切线的判定定理
- 切线的性质定理
- 4.3.6 弧长、扇形面积：
- 弧长公式
- 扇形面积公式
- 4.3.7 圆锥的侧面积：
4.4 投影与视图
- 4.4.1 平行投影与中心投影：
- 定义
- 区别
- 4.4.2 三视图：
- 主视图、左视图、俯视图
- 简单几何体的三视图
- 4.4.3 由三视图判断几何体：
五、概率与统计
5.1 概率
- 5.1.1 定义： 随机事件发生的可能性的大小
- 5.1.2 概率的计算：
- 简单事件的概率
- 古典概型
- 频率估计概率
5.2 统计
- 5.2.1 数据的收集与整理：
- 调查方式
- 统计图表
- 5.2.2 数据的描述：
- 平均数、中位数、众数
- 方差、标准差
六、综合与实践
- 6.1 数学建模：
- 分析问题
- 建立模型
- 求解模型
- 检验结果
- 6.2 实际应用：
- 利用所学知识解决实际问题
- 数学思想方法的运用