《四年级数学下思维导图》

一、 运算定律与简便计算

• 1.1 加法运算定律

  • 1.1.1 加法交换律
    • 定义：a + b = b + a
    • 示例：28 + 17 = 17 + 28
    • 应用：简便计算，改变运算顺序
  • 1.1.2 加法结合律
    • 定义：(a + b) + c = a + (b + c)
    • 示例：(23 + 6) + 4 = 23 + (6 + 4)
    • 应用：将能凑整的数先加，简化计算
  • 1.1.3 综合应用
    • 结合交换律和结合律进行灵活运算
    • 例：17 + 25 + 83 = (17 + 83) + 25

• 1.2 乘法运算定律

  • 1.2.1 乘法交换律
    • 定义：a × b = b × a
    • 示例：15 × 4 = 4 × 15
    • 应用：交换因数位置，便于计算
  • 1.2.2 乘法结合律
    • 定义：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 示例：(25 × 4) × 7 = 25 × (4 × 7)
    • 应用：凑整计算，简化运算
  • 1.2.3 乘法分配律
    • 定义：(a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
    • 示例：(12 + 8) × 5 = 12 × 5 + 8 × 5
    • 逆用：a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c)
    • 应用：将乘法转化为加法，或将加法转化为乘法
  • 1.2.4 综合应用
    • 多种运算定律结合使用
    • 例：25 × 12 = 25 × (4 × 3) = (25 × 4) × 3

• 1.3 减法和除法的性质

  • 1.3.1 减法的性质
    • 定义：a - b - c = a - (b + c)
    • 示例：48 - 13 - 7 = 48 - (13 + 7)
    • 应用：简化连减运算
    • 推广：a - b + c = a - (b - c)
  • 1.3.2 除法的性质
    • 定义：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
    • 示例：360 ÷ 4 ÷ 9 = 360 ÷ (4 × 9)
    • 应用：简化连除运算
    • 推广：a ÷ b × c = a ÷ (b ÷ c)

• 1.4 简便计算的应用

  • 常见数字的组合：25 × 4 = 100, 125 × 8 = 1000
  • 拆分法：将一个数拆分成两个数的和或差，便于运用乘法分配律
  • 凑整法：将接近整十、整百的数凑成整十、整百，然后多加或少减

二、 小数的意义和性质

• 2.1 小数的意义

  • 2.1.1 小数的产生
    • 测量和计算时，有时不能得到整数结果，就用小数表示
  • 2.1.2 小数的计数单位
    • 十分之一、百分之一、千分之一……分别写作 0.1、0.01、0.001……
  • 2.1.3 小数的组成
    • 小数由整数部分、小数点和小数部分组成
    • 例：3.14 由 3 个一，1 个十分之一，4 个百分之一组成

• 2.2 小数的读法和写法

  • 2.2.1 小数的读法
    • 整数部分按整数读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字
    • 例：12.34 读作：十二点三四
  • 2.2.2 小数的写法
    • 整数部分按整数写法写，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每个数字
    • 例：三百点零五 写作：300.05

• 2.3 小数的性质

  • 2.3.1 小数的基本性质
    • 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变
    • 例：0.3 = 0.30 = 0.300
  • 2.3.2 应用
    • 化简小数：去掉小数末尾的“0”
    • 改写小数：根据需要，在小数末尾添上“0”

• 2.4 小数的大小比较

  • 2.4.1 比较方法
    • 先比较整数部分，整数部分大的数就大
    • 整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的数就大
    • 十分位相同，就比较百分位，依此类推
  • 2.4.2 注意事项
    • 位数不同的小数，可以先添“0”使位数相同再比较

• 2.5 小数点移动引起小数大小的变化

  • 2.5.1 移动规律
    • 小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍；移动两位，扩大到原来的100倍……
    • 小数点向左移动一位，小数就缩小到原来的1/10；移动两位，缩小到原来的1/100……
  • 2.5.2 应用
    • 单位换算：例如，米和厘米之间的转换

• 2.6 单位换算

  • 2.6.1 长度单位：米、分米、厘米、毫米
  • 2.6.2 质量单位：千克、克
  • 2.6.3 人民币单位：元、角、分
  • 2.6.4 换算方法
    • 大单位换算成小单位：乘进率
    • 小单位换算成大单位：除以进率

三、 三角形

• 3.1 三角形的特性

  • 3.1.1 定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）
  • 3.1.2 特性：稳定性

• 3.2 三角形的分类

  • 3.2.1 按角分
    • 锐角三角形：三个角都是锐角
    • 直角三角形：有一个角是直角
    • 钝角三角形：有一个角是钝角
  • 3.2.2 按边分
    • 等腰三角形：有两条边相等
      • 等边三角形：三条边都相等（是特殊的等腰三角形）
    • 不等边三角形：三条边都不相等

• 3.3 三角形的内角和

  • 3.3.1 定理：三角形的内角和是180度
  • 3.3.2 应用：已知两个角求第三个角

• 3.4 三角形边的关系

  • 3.4.1 定理：三角形任意两边之和大于第三边
  • 3.4.2 应用：判断三条线段能否组成三角形

• 3.5 高和底

  • 3.5.1 定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
  • 3.5.2 特点：一个三角形有三条高

四、 图形的运动（二）

• 4.1 轴对称图形

  • 4.1.1 定义：如果一个图形沿一条直线对折，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
  • 4.1.2 常见轴对称图形：正方形、长方形、等腰三角形、圆等

• 4.2 图形的平移

  • 4.2.1 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做平移。
  • 4.2.2 特点：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

• 4.3 图形的旋转

  • 4.3.1 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做旋转。
  • 4.3.2 特点：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。
  • 4.3.3 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。

五、 平均数与条形统计图

• 5.1 平均数的意义

  • 5.1.1 定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
  • 5.1.2 计算公式：平均数 = 总数 ÷ 个数

• 5.2 平均数的应用

  • 5.2.1 能够反映一组数据的总体水平。
  • 5.2.2 用于比较不同组数据的差异。

• 5.3 条形统计图

  • 5.3.1 作用：能够直观地表示出各种数据的多少。
  • 5.3.2 组成：横轴、纵轴、条形。
  • 5.3.3 绘制：选择合适的单位长度，根据数据在图上画出相应的条形。
  • 5.3.4 分析：能够根据条形统计图对数据进行分析和判断。