《7年级下数学思维导图》
一、基本概念与运算
1.1 有理数
1.1.1 概念
- 定义：整数和分数的统称
- 分类：
- 按定义：正有理数、0、负有理数
- 按性质：正整数、0、负整数、正分数、负分数
1.1.2 数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 要素：原点、正方向、单位长度
- 作用：直观表示数，比较数的大小
1.1.3 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
- 性质：互为相反数的两个数之和为0
- 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称
1.1.4 绝对值
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离
- 性质：
- 非负性：|a| ≥ 0
- 正数的绝对值是它本身
- 负数的绝对值是它的相反数
- 0的绝对值是0
1.1.5 有理数的大小比较
- 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大
- 绝对值法：两个负数，绝对值大的反而小
- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数
1.1.6 有理数的运算
- 加法：
- 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 一个数同0相加，仍得这个数
- 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数
- 乘法：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数同0相乘，都得0
- 多个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个，积为正；负因数有奇数个，积为负
- 除法：
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 0除以任何不等于0的数，都得0
- 乘方：
- 求n个相同因数的积的运算
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
- 0的任何正整数次幂都是0
- 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里的
1.2 整式的加减
1.2.1 单项式
- 定义：由数与字母的积组成的代数式
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：单项式中所有字母的指数的和
1.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和
- 项：多项式中的每个单项式
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
- 常数项：不含字母的项
1.2.3 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
- 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
1.2.4 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式
1.2.5 整式的加减
- 本质：合并同类项
- 步骤：去括号、合并同类项
二、方程与不等式
2.1 一元一次方程
2.1.1 方程的概念
- 定义：含有未知数的等式
- 解：使方程左右两边相等的未知数的值
- 解方程：求方程解的过程
2.1.2 一元一次方程
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程
- 标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
2.1.3 解一元一次方程
- 移项：把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边
- 合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
- 系数化为1：方程两边都除以未知数的系数
2.1.4 一元一次方程的应用
- 审题：理解题意，找出已知条件和未知量
- 设未知数：选择合适的未知数，用字母表示
- 列方程：根据题中的等量关系，列出方程
- 解方程：求出方程的解
- 检验：检验方程的解是否符合题意
- 答：写出答案，注意单位
2.2 不等式与不等式组
2.2.1 不等式
- 定义：用不等号连接的式子
- 不等号：＞、＜、≥、≤、≠
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值
- 解不等式：求不等式解集的过程
- 不等式的解集：所有解的集合
2.2.2 不等式的性质
- 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
- 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
- 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
2.2.3 一元一次不等式
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式
2.2.4 解一元一次不等式
- 步骤：与解一元一次方程类似，但要注意乘以或除以负数时要改变不等号的方向
2.2.5 不等式组
- 定义：由几个不等式组成的不等式组
- 解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分
- 解不等式组：求不等式组解集的过程
2.2.6 一元一次不等式组
- 定义：由几个一元一次不等式组成的不等式组
2.2.7 解一元一次不等式组
- 分别解出不等式组中每个不等式的解集
- 在数轴上表示出每个不等式的解集
- 找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集
2.2.8 不等式（组）的应用
- 与一元一次方程的应用类似，关键是找到不等关系
三、几何图形初步
3.1 立体图形与平面图形
3.1.1 立体图形
- 常见的立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球
3.1.2 平面图形
- 常见的平面图形：三角形、四边形、圆
3.2 直线、射线、线段
3.2.1 直线
- 定义：向两方无限延伸的线
- 性质：两点确定一条直线
- 表示方法：用一个小写字母表示，如直线l；用直线上的两个点表示，如直线AB
3.2.2 射线
- 定义：从一点出发，向一方无限延伸的线
- 表示方法：用端点和射线上的另一个点表示，如射线OA（端点必须写在前面）
3.2.3 线段
- 定义：直线上两点之间的部分
- 表示方法：用线段的两个端点表示，如线段AB
3.2.4 线段的比较与测量
- 用刻度尺测量
- 叠合法比较
- 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点
3.2.5 两点间的距离
- 连接两点的线段的长度
3.2.6 线段的和差
- 把几条线段接在一起或截取一部分
3.3 角
3.3.1 角的定义
- 具有公共端点的两条射线组成的图形
3.3.2 角的表示
- 用三个大写字母表示，如∠AOB（顶点必须写在中间）
- 用一个大写字母表示，如∠O（只有一个角时）
- 用数字或希腊字母表示，如∠1，∠α
3.3.3 角的度量
- 单位：度、分、秒
- 换算：1° = 60'，1' = 60''
3.3.4 角的分类
- 锐角：小于90°的角
- 直角：等于90°的角
- 钝角：大于90°小于180°的角
- 平角：等于180°的角
- 周角：等于360°的角
3.3.5 角的和差
- 把几个角叠在一起或截取一部分
3.3.6 角的平分线
- 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
3.3.7 余角和补角
- 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角
- 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角
- 性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等