《西师数学六年级上册思维导图》

I. 数与代数

A. 分数乘法

• 1. 分数乘整数

  • 概念：求几个相同分数的和的简便运算。
  • 计算方法：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
  • 特殊情况：结果要化成最简分数。
  • 应用：解决实际问题，如求一份物品的几倍等。

• 2. 分数乘分数

  • 概念：求一个数的几分之几是多少。
  • 计算方法：分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母。
  • 简化计算：能约分的要先约分，再计算。
  • 应用：解决实际问题，如求面积、体积等。

• 3. 倒数的认识

  • 概念：乘积是1的两个数互为倒数。
  • 求法：
    • 真分数/假分数：分子分母颠倒位置。
    • 整数：看作分母为1的分数，再分子分母颠倒。
    • 1的倒数是1，0没有倒数。
  • 作用：为分数除法做准备。

• 4. 分数乘法的应用

  • 涉及“是”或“占”的比例关系的实际问题。
  • 关键：找准单位“1”。
  • 方法：分析题意，确定单位“1”，根据数量关系列式计算。
  • 类型：
    • 已知单位“1”，求它的几分之几是多少。
    • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (用方程)

B. 分数除法

• 1. 分数除以整数

  • 概念：已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。
  • 计算方法：
    • 除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。
    • 当被除数的分子能被整数整除时，直接用分子除以整数，分母不变。
  • 应用：解决实际问题。

• 2. 分数除以分数

  • 计算方法：除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。
  • 应用：解决实际问题。

• 3. 比的认识

  • 概念：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 表示方法：a : b （读作a比b）。
  • 前项、后项、比值：a是前项，b是后项，a÷b是比值。
  • 比与除法、分数的关系：
    • 比的前项相当于除法的被除数，分数的分子。
    • 比的后项相当于除法的除数，分数的分母。
    • 比值相当于除法的商，分数的分数值。
  • 比的基本性质：比的前后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 化简比：利用比的基本性质，把比化成最简整数比。
  • 应用：解决按比例分配问题。

• 4. 按比例分配

  • 概念：把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 解题方法：
    • 先求出总份数。
    • 再求出各部分占总数的几分之几。
    • 用总数分别乘各部分所占的几分之几。

• 5. 分数混合运算

  • 运算顺序：与整数混合运算相同，先乘除，后加减，有括号先算括号里的。
  • 简便运算：运用运算定律进行简便运算，如乘法分配律等。

C. 百分数

• 1. 百分数的意义

  • 概念：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比。
  • 特点：
    • 表示的是两个数的比，不带单位名称。
    • 通常不写成分数形式，而在分子后面加上百分号“%”来表示。
  • 作用：便于比较。

• 2. 百分数与小数、分数的互化

  • 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位。
  • 小数化百分数：小数点向右移动两位，同时添上百分号。
  • 百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。
  • 分数化百分数：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。

• 3. 百分数的应用

  • 求一个数是另一个数的百分之几。
  • 求一个数比另一个数多（少）百分之几。
  • 解决与折扣、纳税、利息等有关的实际问题。

II. 空间与图形

A. 圆的认识

• 1. 圆的特征

  • 圆心：用字母O表示，决定圆的位置。
  • 半径：用字母r表示，连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小。
  • 直径：用字母d表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段。
  • 关系：d = 2r, r = d/2
  • 同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

• 2. 圆的周长

  • 概念：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
  • 公式：C = πd 或 C = 2πr (π≈3.14)

• 3. 圆的面积

  • 概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
  • 公式：S = πr²
  • 推导过程：将圆分割成若干等份，拼成一个近似的平行四边形或长方形，根据平行四边形或长方形的面积公式推导出圆的面积公式。

• 4. 扇形

  • 概念：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
  • 圆心角：顶点在圆心的角。
  • 弧：圆上任意两点间的部分。
  • 扇形面积：S = (n/360)πr² (n为圆心角的度数)

III. 统计与概率

A. 统计图的选择

• 1. 条形统计图

  • 特点：能清楚地表示出各种数量的多少。
  • 适用范围：适用于表示各种数量的多少，便于比较。

• 2. 折线统计图

  • 特点：能清楚地反映出数量增减变化的情况。
  • 适用范围：适用于表示数量随时间的变化情况。

• 3. 扇形统计图

  • 特点：能清楚地表示出各部分量占总量的百分比。
  • 适用范围：适用于表示各部分量占总量的百分比。

• 选择原则：根据统计的目的和数据的特点，选择最能清楚、准确地表达数据的统计图。

IV. 数学广角

A. 鸡兔同笼问题

• 1. 问题特点

  • 已知两种物体的总个数和总脚数，求两种物体的个数。

• 2. 解题方法

  • 假设法：假设全是鸡或全是兔，然后根据总脚数进行调整。
  • 方程法：设鸡有x只，则兔有(总数-x)只，根据总脚数列方程。
  • 公式法：鸡的只数=（总脚数-兔的脚数×总只数）÷（鸡的脚数-兔的脚数）；兔的只数=总只数-鸡的只数。

• 拓展： 该类题型可以拓展到其他的类似问题，关键是抓住总量和各个部分量的关系。