《五年级上册数学思维导图全本》

一、 小数乘法

1.1 小数乘整数

• 概念： 意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
• 计算方法：
  • 先将小数转化为整数
  • 按照整数乘法计算
  • 确定积的小数点位置（看因数中有几位小数，积就有几位小数）
• 易错点：
  • 忘记点小数点
  • 小数点位置数错
• 思维导图：
  • 小数乘整数
    • 意义：几个相同加数的和
    • 计算：转化整数，整数乘法，确定小数点
    • 易错点：小数点问题

1.2 小数乘小数

• 概念： 一个数乘小数的意义，是求这个数的十分之几、百分之几…是多少。
• 计算方法：
  • 先将小数转化为整数
  • 按照整数乘法计算
  • 确定积的小数点位置（看因数中一共有几位小数，积就有几位小数）
  • 积的小数位数不够时，用0补足。
• 简便计算： 乘法交换律、结合律、分配律在小数乘法中同样适用。
• 近似值： 用“四舍五入”法取近似值。
• 易错点：
  • 小数点位置数错
  • 末尾的0忘记去掉
  • 混合运算的顺序错误
• 思维导图：
  • 小数乘小数
    • 意义：求一个数的几分之几
    • 计算：转化整数，整数乘法，确定小数点，补0
    • 简便计算：交换律，结合律，分配律
    • 近似值：四舍五入
    • 易错点：小数点，末尾0，顺序

1.3 积的近似数

• 方法：
  • 先计算出精确的积
  • 再用“四舍五入”法保留需要的位数
• 注意： 保留小数位数是指小数点后有几位，而不是总共有几位数字。
• 思维导图：
  • 积的近似数
    • 计算精确值
    • 四舍五入
    • 保留位数概念

1.4 解决问题

• 策略： 分析数量关系，列式计算。
• 特殊问题：
  • 连乘问题：注意单位换算。
  • 分段计费问题：理解不同段位的收费标准。
• 思维导图：
  • 解决问题
    • 数量关系分析
    • 单位换算
    • 分段计费

二、 位置

2.1 确定位置

• 数对： 用两个数表示一个确定的位置，前一个数表示列，后一个数表示行，中间用逗号隔开，用括号括起来。
• 应用： 地图、座位表、棋盘等。
• 方向与距离： 使用角度和距离来描述位置。
• 思维导图：
  • 位置
    • 数对：列，行
    • 应用：地图，座位表
    • 方向与距离

三、 小数除法

3.1 小数除以整数

• 计算方法：
  • 按照整数除法计算
  • 商的小数点要与被除数的小数点对齐
  • 如果除到末尾还有余数，就在余数后面添0继续除
• 易错点：
  • 小数点位置对错
  • 中间有0的商的处理
• 思维导图：
  • 小数除以整数
    • 计算：整数除法，小数点对齐，添0
    • 易错点：小数点，商中间的0

3.2 除数是小数的除法

• 计算方法：
  • 将除数转化为整数（移动小数点）
  • 被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够用0补足）
  • 按照除数是整数的除法进行计算
• 商不变的规律： 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
• 循环小数： 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这个数就叫做循环小数。
• 有限小数/无限小数： 小数部分位数有限的小数是有限小数；小数部分位数无限的小数是无限小数。
• 取商的近似数： 根据题目要求，用“四舍五入”法取近似值。
• 易错点：
  • 忘记移动被除数的小数点
  • 补0的位置错误
  • 循环节表示错误
• 思维导图：
  • 除数是小数的除法
    • 转化：除数变整数，被除数移位
    • 商不变规律
    • 循环小数：定义，循环节
    • 有限/无限小数
    • 商的近似数：四舍五入
    • 易错点：小数点，补0，循环节

3.3 解决问题

• 策略： 分析数量关系，列式计算。
• 单位换算： 注意单位统一。
• 进一法/去尾法： 根据实际情况，使用“进一法”或“去尾法”取近似值。
• 思维导图：
  • 解决问题
    • 数量关系分析
    • 单位换算
    • 进一法/去尾法

四、 简易方程

4.1 用字母表示数

• 意义： 用字母可以表示数、数量关系、运算定律、计算公式等。
• 书写规则：
  • 字母与数字相乘时，省略乘号，数字在前，字母在后。
  • 字母与字母相乘时，省略乘号，相同字母一般写成幂的形式。
  • 当字母表示数量时，要注意单位名称。
• 思维导图：
  • 用字母表示数
    • 意义：数，关系，定律，公式
    • 书写规则：省略乘号，数字在前，字母幂，单位

4.2 方程的意义

• 定义： 含有未知数的等式叫做方程。
• 等式： 用等号连接的式子叫做等式。
• 方程与等式的关系： 方程一定是等式，但等式不一定是方程。
• 思维导图：
  • 方程的意义
    • 方程：含有未知数的等式
    • 等式
    • 关系：包含关系

4.3 解方程

• 定义： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
• 解方程的依据： 等式的性质。
• 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等。
  • 等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。
• 解题步骤：
  • 根据等式的性质，将方程进行变形。
  • 使方程左边只剩下未知数。
• 检验方法： 将解代入原方程，看左右两边是否相等。
• 思维导图：
  • 解方程
    • 定义：方程的解
    • 依据：等式性质
    • 等式性质：加减，乘除
    • 步骤：变形，只留未知数
    • 检验：代入原方程

4.4 列方程解决问题

• 步骤：
  • 找出题中的等量关系。
  • 设未知数为x。
  • 根据等量关系列方程。
  • 解方程。
  • 检验并写出答案。
• 思维导图：
  • 列方程解决问题
    • 步骤：找等量，设未知数，列方程，解方程，检验

五、 多边形的面积

5.1 平行四边形的面积

• 公式： 面积 = 底 × 高 (S = ah)
• 推导过程： 将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于长乘宽，而平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽。
• 思维导图：
  • 平行四边形面积
    • 公式：S = ah
    • 推导：转化长方形

5.2 三角形的面积

• 公式： 面积 = (底 × 高) ÷ 2 (S = ah/2)
• 推导过程： 将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于底乘高，而三角形的面积是平行四边形面积的一半。
• 思维导图：
  • 三角形面积
    • 公式：S = ah/2
    • 推导：拼成平行四边形

5.3 梯形的面积

• 公式： 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a+b)h/2)
• 推导过程： 将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于底乘高，而梯形的面积是平行四边形面积的一半。 平行四边形的底等于梯形的上底加下底之和。
• 思维导图：
  • 梯形面积
    • 公式：S = (a+b)h/2
    • 推导：拼成平行四边形

5.4 组合图形的面积

• 方法： 分割法，添补法。
• 分割法： 将组合图形分割成几个简单的基本图形，分别求出面积再相加。
• 添补法： 将组合图形添补成一个简单的基本图形，求出整个图形的面积，再减去添补部分的面积。
• 思维导图：
  • 组合图形面积
    • 方法：分割法，添补法

六、 可能性

6.1 可能性的大小

• 概念： 可能性的大小用分数表示，总数量是分母，需要的数量是分子。
• 公平性： 游戏规则要公平，每个事件发生的可能性要相同。
• 思维导图：
  • 可能性
    • 表示：分数
    • 公平性：规则公平

七、 数学广角——植树问题

7.1 植树问题

• 类型：
  • 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
  • 一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数
  • 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1
  • 封闭图形： 棵数=间隔数
• 间隔数： 总长度 ÷ 间隔长度
• 思维导图：
  • 植树问题
    • 两端栽：棵数 = 间隔数 + 1
    • 一端栽：棵数 = 间隔数
    • 两端不栽：棵数 = 间隔数 - 1
    • 封闭图形：棵数=间隔数
    • 间隔数计算

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