《一元二次方程函数和不等式的思维导图》
I. 一元二次方程
A. 定义与一般形式
- 1. 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
- 2. 一般形式： ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- a：二次项系数
- b：一次项系数
- c：常数项
B. 解法
- 1. 直接开平方法：
- 适用条件：形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程
- 解：x + m = ±√n => x = -m ±√n
- 2. 配方法：
- 步骤：
- 将二次项系数化为1：x² + (b/a)x + (c/a) = 0
- 移项：x² + (b/a)x = -(c/a)
- 配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² = -(c/a) + (b/2a)²
- 化简：(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²
- 开平方：x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a
- 解：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a
- 步骤：
- 3. 公式法：
- 求根公式：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a
- 判别式：Δ = b² - 4ac
- Δ > 0：方程有两个不相等的实数根
- Δ = 0：方程有两个相等的实数根
- Δ < 0：方程没有实数根
- 4. 因式分解法：
- 步骤：
- 将方程化为一般形式：ax² + bx + c = 0
- 将左边分解因式：(mx + p)(nx + q) = 0
- 令每个因式为0：mx + p = 0 或 nx + q = 0
- 解：x = -p/m 或 x = -q/n
- 常见分解方式：
- 提取公因式
- 运用公式 (平方差、完全平方)
- 十字相乘法
- 步骤：
C. 根与系数的关系 (韦达定理)
- 1. 两根之和： x₁ + x₂ = -b/a
- 2. 两根之积： x₁ * x₂ = c/a
- 3. 应用：
- 已知两根之和与两根之积，构造一元二次方程：x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
- 求含两根的代数式的值
II. 一元二次函数
A. 定义与图像
- 1. 定义： 形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数
- 2. 图像： 抛物线
- a > 0：开口向上，有最小值
- a < 0：开口向下，有最大值
- 3. 顶点坐标： (-b/2a, (4ac - b²) / 4a)
- 4. 对称轴： x = -b/2a
- 5. 特殊形式：
- 顶点式：y = a(x - h)² + k，顶点为 (h, k)
- 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，与x轴交点为 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)
B. 性质
- 1. 单调性：
- a > 0：在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增
- a < 0：在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减
- 2. 最值：
- a > 0：有最小值，ymin = (4ac - b²) / 4a
- a < 0：有最大值，ymax = (4ac - b²) / 4a
- 3. 与x轴的交点：
- Δ > 0：有两个交点
- Δ = 0：有一个交点 (与x轴相切)
- Δ < 0：没有交点
C. 应用
- 1. 求最值问题： 如利润最大化，成本最小化等。
- 2. 函数图像的平移、伸缩：
- y = f(x) + k：向上平移 k 个单位
- y = f(x - h)：向右平移 h 个单位
- y = Af(x)：纵坐标变为原来的 A 倍
- y = f(Bx)：横坐标变为原来的 1/B 倍
- 3. 解决实际问题： 建立函数模型，分析解决问题。
III. 一元二次不等式
A. 定义与一般形式
- 1. 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
- 2. 一般形式：
- ax² + bx + c > 0 (a ≠ 0)
- ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)
- ax² + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)
- ax² + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)
B. 解法
- 1. 化为标准形式： 将不等式化为上述一般形式。
- 2. 解对应的一元二次方程： ax² + bx + c = 0，求出方程的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)。
- 3. 确定不等式的解集： 根据 a 的符号和判别式 Δ 的值，结合函数图像，判断解集。
- a > 0：
- Δ > 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 x < x₁ 或 x > x₂；ax² + bx + c < 0 的解集为 x₁ < x < x₂。
- Δ = 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 x ≠ x₁；ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
- Δ < 0：ax² + bx + c > 0 的解集为全体实数；ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
- a < 0： 先将不等式两边同乘以 -1，使二次项系数为正，再按照 a > 0 的情况求解。
- a > 0：
- 4. 图象法： 画出对应一元二次函数的图象，根据不等式的符号，确定图象在x轴上方或下方的部分对应的x的取值范围。
C. 应用
- 1. 求参数的取值范围： 使不等式恒成立或有解。
- 2. 解决实际问题： 如优化问题、可行性问题等。
- 3. 与集合的结合： 求满足不等式的集合。
D. 注意事项
- 1. 符号方向： 注意不等式符号的方向，解集会因此而改变。
- 2. 二次项系数： 始终注意二次项系数的正负，直接影响解集的确定。
- 3. 判别式： 判别式 Δ 的值决定了方程根的情况，进而影响不等式解集。
- 4. 等号问题： 注意不等式中是否含有等号，解集的端点是否需要包含。
IV. 三者之间的联系
- 1. 方程是函数在y=0时的特殊情况： 一元二次方程是当一元二次函数y = ax² + bx + c 中 y=0 时的表达式，方程的根即为函数图像与 x 轴的交点横坐标。
- 2. 不等式可以转化为函数值与0的大小关系： 一元二次不等式的解集，对应于一元二次函数图像在 x 轴上方或下方部分的 x 的取值范围。
- 3. 解方程是解不等式的基础： 解一元二次不等式首先需要解对应的一元二次方程，求出根作为划分区域的依据。
- 4. 函数图像直观体现方程的根和不等式的解： 通过函数图像，可以直观地理解方程的根和不等式的解，以及它们之间的关系。
- 5. 三者都是解决数学问题的工具： 可以相互转化，灵活运用，解决各种实际问题。
通过以上思维导图，可以系统地掌握一元二次方程、函数和不等式之间的联系，提高解题能力。