一元二次函数方程和不等式思维导图

# 《一元二次函数方程和不等式思维导图》

## I. 一元二次函数

### A. 定义与一般形式

*   定义：形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。
*   一般形式：f(x) = ax² + bx + c (a, b, c 为常数，a ≠ 0)。
*   特殊形式：
    *   顶点式：f(x) = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 为顶点坐标。
    *   两根式：f(x) = a(x - x₁) (x - x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 为方程 ax² + bx + c = 0 的根。

### B. 图象与性质

*   图象：抛物线
    *   开口方向：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。
    *   对称轴：x = -b / 2a
    *   顶点坐标：(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)  或 (h, k)
    *   与x轴的交点：方程 ax² + bx + c = 0 的根。根的判别式 Δ = b² - 4ac 决定交点个数。
        *   Δ > 0：两个不同的交点
        *   Δ = 0：一个交点（与 x 轴相切）
        *   Δ < 0：没有交点
    *   与y轴的交点：(0, c)
*   性质：
    *   定义域：R
    *   值域：
        *   a > 0：[ (4ac - b²) / 4a, +∞ ) 或 [k, +∞ )
        *   a < 0：( -∞, (4ac - b²) / 4a ] 或 ( -∞, k ]
    *   单调性：
        *   a > 0：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递减，在 [-b / 2a, +∞) 上单调递增。
        *   a < 0：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递增，在 [-b / 2a, +∞) 上单调递减。
    *   奇偶性：一般情况下非奇非偶，当 b = 0 时为偶函数。

### C. 应用

*   求最值/极值：通过顶点坐标或配方法。
*   判断单调性：根据 a 的符号和对称轴位置。
*   研究函数在特定区间上的性质。
*   实际问题：例如利润最大化，成本最小化等。

## II. 一元二次方程

### A. 定义与一般形式

*   定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
*   一般形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。

### B. 解法

*   直接开平方法：适用于形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程。
*   配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式，然后求解。
*   公式法：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a (Δ = b² - 4ac)。
*   因式分解法：将方程化为 (x - x₁) (x - x₂) = 0 的形式，然后求解。常用的因式分解方法有提取公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。

### C. 根的判别式

*   Δ = b² - 4ac
    *   Δ > 0：两个不相等的实数根。
    *   Δ = 0：两个相等的实数根。
    *   Δ < 0：没有实数根（有两个共轭复数根，高中阶段一般不研究）。

### D. 根与系数的关系（韦达定理）

*   x₁ + x₂ = -b / a
*   x₁ * x₂ = c / a

### E. 应用

*   已知两根求方程。
*   求代数式的值，例如 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
*   构造一元二次方程解决问题。

## III. 一元二次不等式

### A. 定义与一般形式

*   定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
*   一般形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。也可以是 ≥ 或 ≤。

### B. 解法

*   转化为一元二次方程：ax² + bx + c = 0
*   求根：利用公式法或因式分解法求出方程的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)。
*   讨论 a 的符号：
    *   a > 0：
        *   Δ > 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}； ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}。
        *   Δ = 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁}； ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
        *   Δ < 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 R； ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
    *   a < 0：先将不等式两边乘以 -1，使 a > 0，然后按照 a > 0 的情况求解。
*   数轴标根法：将根在数轴上标出，然后根据 a 的符号和不等号的方向确定解集。

### C. 应用

*   解参数不等式：例如 a x² + bx + c > 0，求 a 的取值范围。
*   不等式恒成立问题：
    *   ax² + bx + c > 0 恒成立：a > 0 且 Δ < 0。
    *   ax² + bx + c < 0 恒成立：a < 0 且 Δ < 0。
*   与集合的交并补运算结合。
*   实际应用问题，例如求变量的取值范围。

## IV. 三者之间的联系

*   一元二次函数的值等于0时，对应一元二次方程。
*   一元二次函数值大于0或小于0时，对应一元二次不等式。
*   一元二次方程的根对应一元二次函数图象与x轴的交点。
*   解一元二次不等式的过程依赖于解一元二次方程。
*   三者都与 a, b, c 和 Δ = b² - 4ac 有密切关系。 理解 Δ 的意义至关重要。

## V. 注意事项

*   务必确保 a ≠ 0。
*   注意不等式符号的方向。
*   参数问题要进行分类讨论。
*   掌握数形结合思想，利用图象辅助解题。
*   熟悉韦达定理及其应用。
*   注意不等式恒成立条件的灵活运用。
*   配方法是解决很多问题的基础，务必掌握。

This detailed outline covers the definitions, properties, solutions, relationships, and applications of quadratic functions, equations, and inequalities.  It also highlights important considerations for problem-solving.

# 《一元二次函数方程和不等式思维导图》 ## I. 一元二次函数 ### A. 定义与一般形式 * 定义：形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。 * 一般形式：f(x) = ax² + bx + c (a, b, c 为常数，a ≠ 0)。 * 特殊形式： * 顶点式：f(x) = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 为顶点坐标。 * 两根式：f(x) = a(x - x₁) (x - x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 为方程 ax² + bx + c = 0 的根。 ### B. 图象与性质 * 图象：抛物线 * 开口方向：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。 * 对称轴：x = -b / 2a * 顶点坐标：(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k) * 与x轴的交点：方程 ax² + bx + c = 0 的根。根的判别式 Δ = b² - 4ac 决定交点个数。 * Δ > 0：两个不同的交点 * Δ = 0：一个交点（与 x 轴相切） * Δ < 0：没有交点 * 与y轴的交点：(0, c) * 性质： * 定义域：R * 值域： * a > 0：[ (4ac - b²) / 4a, +∞ ) 或 [k, +∞ ) * a < 0：( -∞, (4ac - b²) / 4a ] 或 ( -∞, k ] * 单调性： * a > 0：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递减，在 [-b / 2a, +∞) 上单调递增。 * a < 0：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递增，在 [-b / 2a, +∞) 上单调递减。 * 奇偶性：一般情况下非奇非偶，当 b = 0 时为偶函数。 ### C. 应用 * 求最值/极值：通过顶点坐标或配方法。 * 判断单调性：根据 a 的符号和对称轴位置。 * 研究函数在特定区间上的性质。 * 实际问题：例如利润最大化，成本最小化等。 ## II. 一元二次方程 ### A. 定义与一般形式 * 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 * 一般形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。 ### B. 解法 * 直接开平方法：适用于形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程。 * 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式，然后求解。 * 公式法：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a (Δ = b² - 4ac)。 * 因式分解法：将方程化为 (x - x₁) (x - x₂) = 0 的形式，然后求解。常用的因式分解方法有提取公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。 ### C. 根的判别式 * Δ = b² - 4ac * Δ > 0：两个不相等的实数根。 * Δ = 0：两个相等的实数根。 * Δ < 0：没有实数根（有两个共轭复数根，高中阶段一般不研究）。 ### D. 根与系数的关系（韦达定理） * x₁ + x₂ = -b / a * x₁ * x₂ = c / a ### E. 应用 * 已知两根求方程。 * 求代数式的值，例如 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ * 构造一元二次方程解决问题。 ## III. 一元二次不等式 ### A. 定义与一般形式 * 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。 * 一般形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。也可以是 ≥ 或 ≤。 ### B. 解法 * 转化为一元二次方程：ax² + bx + c = 0 * 求根：利用公式法或因式分解法求出方程的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)。 * 讨论 a 的符号： * a > 0： * Δ > 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}； ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}。 * Δ = 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁}； ax² + bx + c < 0 的解集为空集。 * Δ < 0：ax² + bx + c > 0 的解集为 R； ax² + bx + c < 0 的解集为空集。 * a < 0：先将不等式两边乘以 -1，使 a > 0，然后按照 a > 0 的情况求解。 * 数轴标根法：将根在数轴上标出，然后根据 a 的符号和不等号的方向确定解集。 ### C. 应用 * 解参数不等式：例如 a x² + bx + c > 0，求 a 的取值范围。 * 不等式恒成立问题： * ax² + bx + c > 0 恒成立：a > 0 且 Δ < 0。 * ax² + bx + c < 0 恒成立：a < 0 且 Δ < 0。 * 与集合的交并补运算结合。 * 实际应用问题，例如求变量的取值范围。 ## IV. 三者之间的联系 * 一元二次函数的值等于0时，对应一元二次方程。 * 一元二次函数值大于0或小于0时，对应一元二次不等式。 * 一元二次方程的根对应一元二次函数图象与x轴的交点。 * 解一元二次不等式的过程依赖于解一元二次方程。 * 三者都与 a, b, c 和 Δ = b² - 4ac 有密切关系。理解 Δ 的意义至关重要。 ## V. 注意事项 * 务必确保 a ≠ 0。 * 注意不等式符号的方向。 * 参数问题要进行分类讨论。 * 掌握数形结合思想，利用图象辅助解题。 * 熟悉韦达定理及其应用。 * 注意不等式恒成立条件的灵活运用。 * 配方法是解决很多问题的基础，务必掌握。 This detailed outline covers the definitions, properties, solutions, relationships, and applications of quadratic functions, equations, and inequalities. It also highlights important considerations for problem-solving.

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