一元二次方程思维导图

定义

• 只有一个未知数
• 未知数最高次数为2
• 一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)

解法

直接开平方法

• 适用于 (x+m)² = n (n≥0)

配方法

• 步骤：
  • 化二次项系数为1
  • 移项
  • 配方 (左右两边同时加上一次项系数一半的平方)
  • 直接开平方

公式法

• 求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• 判别式 Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0 有两个不相等的实数根
  • Δ = 0 有两个相等的实数根
  • Δ < 0 没有实数根

因式分解法

• 将方程转化为 (x+m)(x+n) = 0 的形式
• 则 x = -m 或 x = -n

根的判别式

• Δ = b² - 4ac
• Δ > 0 有两个不相等的实数根
• Δ = 0 有两个相等的实数根
• Δ < 0 没有实数根

根与系数的关系 (韦达定理)

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

应用

• 实际问题
  • 面积问题
  • 利润问题
  • 增长率问题
  • 数字问题
• 与其他知识的结合
  • 几何
  • 函数
  • 不等式

注意事项

• a≠0
• 根的判别式中，注意Δ的正负
• 韦达定理使用前提：Δ≥0
• 实际问题中，注意解的实际意义