《一元二次函数的思维导图》

一、概念与定义

• 定义：
  • 形如 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程称为一元二次方程。
  • 形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数称为一元二次函数。
• 一般形式：
  • 方程：ax² + bx + c = 0
  • 函数：f(x) = ax² + bx + c
• 系数：
  • a：二次项系数，决定开口方向和开口大小。
  • b：一次项系数，影响对称轴位置。
  • c：常数项，函数图像与 y 轴的交点。

二、图像与性质

• 图像：
  • 抛物线
  • 开口方向：a > 0 时，开口向上；a < 0 时，开口向下。
  • 对称轴：x = -b / 2a
  • 顶点坐标：(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)
  • 与 y 轴交点：(0, c)
  • 与 x 轴交点：（取决于判别式 △）
• 性质：
  • 定义域：R (全体实数)
  • 值域：
    • a > 0 时：[ (4ac - b²) / 4a, +∞)
    • a < 0 时：(-∞, (4ac - b²) / 4a]
  • 单调性：
    • a > 0 时：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递减；在 [-b / 2a, +∞) 上单调递增。
    • a < 0 时：在 (-∞, -b / 2a] 上单调递增；在 [-b / 2a, +∞) 上单调递减。
  • 奇偶性：一般情况下非奇非偶函数，除非 b = 0 时，是偶函数。
  • 最值：
    • a > 0 时：有最小值 (4ac - b²) / 4a，在 x = -b / 2a 处取得。
    • a < 0 时：有最大值 (4ac - b²) / 4a，在 x = -b / 2a 处取得。
• 图像变换：
  • 平移变换：左加右减，上加下减。（y = a(x-h)² + k，h控制左右平移，k控制上下平移）
  • 对称变换：关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于原点对称。
  • 伸缩变换：横坐标伸缩，纵坐标伸缩。

三、根的判别式与根的关系

• 根的判别式 (△ = b² - 4ac)：
  • △ > 0：方程有两个不相等的实数根。
  • △ = 0：方程有两个相等的实数根。
  • △ < 0：方程没有实数根（有两个共轭复数根）。
• 根与系数的关系（韦达定理）：
  • 设 x₁，x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根，则：
    • x₁ + x₂ = -b / a
    • x₁ * x₂ = c / a
• 应用：
  • 判断根的情况。
  • 已知一个根，求另一个根。
  • 构造一元二次方程。
  • 求根的对称式的值（例如：x₁² + x₂², |x₁ - x₂| 等）。

四、一元二次方程的解法

• 直接开平方法： 适用于 (x + m)² = n (n ≥ 0) 形式的方程。
• 配方法： 将方程转化为 (x + m)² = n 的形式，再用直接开平方法求解。
  • 步骤：
    1. 移项：将常数项移到等号右边。
    2. 化二次项系数为 1：方程两边同时除以二次项系数 a。
    3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
    4. 用直接开平方法求解。
• 公式法：
  • x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
  • 适用性广，是通用的解法。
• 因式分解法：
  • 将方程左边分解成两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零，从而求得方程的根。
  • 常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法。
  • 适用条件：方程容易分解因式时。
• 换元法: 复杂的方程可以通过换元转化为一元二次方程求解。

五、应用

• 实际问题：
  • 利润问题：求最大利润，最佳定价。
  • 面积问题：求最大面积，最小周长。
  • 运动轨迹问题：抛物线运动，求最大高度，射程。
  • 增长率问题：求增长率，总产量。
• 与其它知识的结合：
  • 不等式：解一元二次不等式。
  • 函数：研究函数性质，求函数最值。
  • 数列：某些数列通项公式可以表示为一元二次函数形式。
  • 几何：抛物线与直线、圆锥曲线的交点问题。
• 建模思想： 将实际问题转化为数学模型，利用一元二次函数的知识解决问题。

六、一元二次不等式

• 定义： 形如 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0) 的不等式。
• 解法：
  1. 化为一般形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0
  2. 求出对应的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。
  3. 根据 a 的符号和根的情况，画出二次函数的图像。
  4. 根据图像，确定不等式的解集。
• 解集表示：
  • 当 a > 0 时：
    • ax² + bx + c > 0 的解集为 (-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞) (x₁ < x₂)
    • ax² + bx + c < 0 的解集为 (x₁, x₂)
  • 当 a < 0 时：与 a > 0 时解集相反。
• 推广： 高次不等式、分式不等式可以通过转化，最终化为一元二次不等式来求解。

七、重要思想方法

• 数形结合思想： 利用图像直观地理解函数的性质和方程的根。
• 分类讨论思想： 根据参数的不同取值，讨论方程的根和不等式的解集。
• 转化思想： 将复杂问题转化为简单问题，例如：配方法、换元法。
• 方程思想： 将函数问题转化为方程问题，例如：求函数与 x 轴的交点。
• 函数思想： 利用函数的性质，研究方程和不等式。

此思维导图涵盖了一元二次函数的主要内容，并将其组织成一个有逻辑的结构。通过掌握这些知识点和思想方法，可以更好地理解和应用一元二次函数。