一元二次函数,方程和不等式的思维导图
《一元二次函数,方程和不等式的思维导图》
I. 一元二次函数
A. 定义与一般形式
- 定义: 形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数
- 一般形式: f(x) = ax² + bx + c
- 顶点式: f(x) = a(x - h)² + k，其中顶点坐标为 (h, k)，且 h = -b/2a, k = (4ac-b²)/4a
- 零点式 (交点式): f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 是函数的零点
B. 图像与性质
- 图像: 抛物线
- 开口方向: a > 0 开口向上，a < 0 开口向下
- 对称轴: x = -b/2a
- 顶点坐标: (-b/2a, (4ac-b²)/4a)
- 与 y 轴的交点: (0, c)
- 与 x 轴的交点 (零点): 求解 ax² + bx + c = 0 的根
- 性质:
- 定义域: R (实数集)
- 值域:
- a > 0 时，值域为 [ (4ac-b²)/4a, +∞ )
- a < 0 时，值域为 ( -∞, (4ac-b²)/4a ]
- 单调性:
- a > 0 时，在 (-∞, -b/2a] 上单调递减，在 [-b/2a, +∞) 上单调递增
- a < 0 时，在 (-∞, -b/2a] 上单调递增，在 [-b/2a, +∞) 上单调递减
- 奇偶性: 一般情况下非奇非偶函数，当 b = 0 时为偶函数
- 最值: 顶点处取得最值，最大值或最小值
C. 应用
- 求最值问题: 通过顶点式或配方法求解最大值或最小值
- 建模问题: 利用二次函数模型解决实际问题，如利润最大化、路径优化等
- 判断函数图像: 根据系数 a, b, c 的符号判断图像的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等
- 与其他函数结合: 与一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等结合，考察复合函数的性质
II. 一元二次方程
A. 定义与一般形式
- 定义: 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的等式
- 一般形式: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
B. 解法
- 直接开平方法: 适用于 b = 0 的情况
- 配方法: 将方程配成 (x + m)² = n 的形式，然后求解
- 公式法: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
- 因式分解法: 将方程分解成 (x - x₁)(x - x₂) = 0 的形式，然后求解
C. 根的判别式
- Δ = b² - 4ac
- Δ > 0: 方程有两个不相等的实数根
- Δ = 0: 方程有两个相等的实数根
- Δ < 0: 方程没有实数根 (有两个共轭复数根)
D. 根与系数的关系 (韦达定理)
- x₁ + x₂ = -b/a
- *x₁ x₂ = c/a**
- 应用: 已知两根之和与两根之积，求方程的系数；已知一个根，求另一个根和系数；构造一元二次方程
III. 一元二次不等式
A. 定义与一般形式
- 定义: 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的不等式
- 一般形式: ax² + bx + c > 0 (或 < 0, ≥ 0, ≤ 0) (a ≠ 0)
B. 解法
- 化为标准形式: 将不等式化为 ax² + bx + c > 0 (或 < 0) 的形式
- 求根: 解方程 ax² + bx + c = 0，求出方程的根 x₁ 和 x₂ (若有)
- 画图: 画出二次函数 y = ax² + bx + c 的图像，并标出根 x₁ 和 x₂
- 确定解集: 根据图像判断不等式的解集
- 当 a > 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}，ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}
- 当 a < 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}，ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}
C. 特殊情况
- Δ < 0:
- a > 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 R，ax² + bx + c < 0 的解集为空集
- a < 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为空集，ax² + bx + c < 0 的解集为 R
- Δ = 0:
- ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁} (a > 0)，或者为空集 (a < 0)
- ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x ≠ x₁} (a < 0)，或者为空集 (a > 0)
- 需要注意取等号的情况
D. 应用
- 解含参数的不等式: 对参数进行分类讨论，确定不等式的解集
- 解集合问题: 将不等式的解集表示成集合，并进行集合运算
- 求参数的取值范围: 使不等式在一定范围内成立，求参数的取值范围
- 与函数定义域、值域相结合: 利用不等式求解函数的定义域或值域
IV. 三者关系
A. 联系
- 一元二次方程的根是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的边界点。
- 一元二次不等式的解集可以根据一元二次函数的图像和对应的一元二次方程的根来确定。
B. 转化
- 解一元二次不等式可以转化为求解对应的一元二次方程的根。
- 已知一元二次函数，可以求出其对应的方程和不等式。
- 已知一元二次方程，可以构造对应的一元二次函数和不等式。
C. 核心思想
- 数形结合：利用二次函数的图像直观地理解和解决问题。
- 转化思想：将复杂的问题转化为简单的问题，例如将不等式问题转化为方程问题。
- 分类讨论：对于含参数的问题，需要对参数进行分类讨论，确定不同的情况下的解。
