《五年级上册小数乘除法思维导图》
中心主题：小数乘除法
一、小数乘法
1. 意义：
- 整数乘法的意义扩展： 求几个相同加数的和的简便运算。例如：1.5 × 3 表示求3个1.5的和是多少。
- 求一个数的几分之几是多少： 例如：1.5 × 0.8 表示求1.5的十分之八是多少。
2. 计算法则：
- 转化： 将小数乘法转化为整数乘法进行计算。
- 步骤：
- (1) 先按照整数乘法的法则算出积。
- (2) 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- (3) 积的小数位数不够时，在前面用0补足。
- (4) 积的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。
3. 注意事项：
- 小数点对齐： 不需要像小数加减法一样对齐小数点。
- 数位数： 确定小数点的位置是关键，仔细数清楚因数中小数的总位数。
- 末尾的0： 计算结果末尾有0要去掉，化简。
- 估算： 培养估算意识，检查结果的合理性。
4. 特殊情况：
- 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 例如：1.5 × 1.2 > 1.5
- 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 例如：1.5 × 0.8 < 1.5
- 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。 例如：1.5 × 1 = 1.5
- 乘数为0的情况： 任何数乘0都等于0。
5. 乘法运算定律的推广：
- 交换律： a × b = b × a
- 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 应用： 灵活运用运算定律进行简便计算。 例如：2.5 × 0.98 × 4 = 2.5 × 4 × 0.98
6. 解决问题：
- 单价×数量=总价
- 路程=速度×时间
- 其他实际应用问题： 例如计算面积，体积等。
二、小数除法
1. 意义：
- 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 相当于逆运算。
2. 除数是整数的小数除法：
- 法则：
- (1) 按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- (2) 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- (3) 如果整数部分不够除，商0，点上小数点。
- 注意： 竖式计算时，小数点要对齐。
3. 除数是小数的除法：
- 转化： 把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。
- 方法：
- (1) 先移动除数的小数点，使它变成整数。
- (2) 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足)。
- (3) 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 关键： 保证除数变成整数后，被除数也要相应地变化，商的大小不变。
4. 商的变化规律：
- 被除数不变，除数扩大，商反而缩小。除数缩小，商反而扩大。 (按照相同的倍数变化)
- 除数不变，被除数扩大，商也扩大。被除数缩小，商也缩小。 (按照相同的倍数变化)
5. 近似值：
- 四舍五入法： 根据需要保留的位数，进行四舍五入。
- 进一法： 无论小数点后是什么数字都向前进一位。
- 去尾法： 无论小数点后是什么数字都舍去。
- 实际应用： 根据实际情况选择合适的方法取近似值。 例如：买东西时的舍入问题。
6. 循环小数：
- 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 循环节： 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
- 简便写法： 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
- 无限小数： 循环小数是无限小数。
- 有限小数： 小数部分位数是有限的。
7. 解决问题：
- 单价=总价÷数量
- 速度=路程÷时间
- 平均数问题： 总数 ÷ 总份数 = 平均数
- 实际问题： 例如：计算平均每份是多少，剩余问题等。
三、混合运算
- 运算顺序： 先乘除，后加减，有括号先算括号里的。
- 简便计算： 运用运算定律进行简便计算。
- 解决实际问题： 分析数量关系，列出综合算式。
四、应用题
- 审题： 理解题意，找出已知条件和所求问题。
- 分析数量关系： 理清各数量之间的关系。
- 列式计算： 根据数量关系列出算式。
- 检验： 检查计算是否正确，答案是否符合题意。
- 书写答案： 写出完整的答案。
五、易错点总结：
- 小数点位置的确定（乘法和除法）。
- 除法竖式中0的占位问题。
- 循环小数的表示方法。
- 取近似值的不同方法及其应用场景。
- 运算顺序的混淆。
- 单位换算错误（例如，米和厘米）。
- 审题不仔细，理解题意偏差。
- 忘记写单位名称。
This is a comprehensive outline. Remember to use visual aids and connectors when creating the actual mind map. Good luck!