《数学初中几何思维导图》

一、几何基础概念

1.1 点、线、面、体

• 1.1.1 点: 无大小，只有位置。常用大写字母表示，如点A。

• 1.1.2 线:

  • 直线: 无端点，可无限延伸。两点确定一条直线。
  • 射线: 有一个端点，可向一方无限延伸。
  • 线段: 有两个端点。
  • 曲线: 非直线。

• 1.1.3 面:

  • 平面: 无厚度，无限延展。
  • 曲面: 非平面。

• 1.1.4 体: 占据空间，有体积。

1.2 角

• 1.2.1 定义: 由两条有公共端点的射线组成。

• 1.2.2 度量单位: 度 (°)。

• 1.2.3 角的分类:

  • 锐角: 0° < 角 < 90°
  • 直角: 角 = 90°
  • 钝角: 90° < 角 < 180°
  • 平角: 角 = 180°
  • 周角: 角 = 360°

• 1.2.4 角的关系:

  • 余角: 两角之和为 90°。
  • 补角: 两角之和为 180°。
  • 对顶角: 两直线相交，有公共顶点的角。对顶角相等。
  • 邻补角: 两直线相交，有公共顶点和一条公共边的角。邻补角互补。

1.3 相交线与平行线

• 1.3.1 相交线: 两直线有一个公共点。

• 1.3.2 垂线: 两直线相交成直角。垂线段最短。

• 1.3.3 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

• 1.3.4 平行线: 在同一平面内，不相交的两条直线。

• 1.3.5 平行线的判定:

  • 同位角相等，两直线平行。
  • 内错角相等，两直线平行。
  • 同旁内角互补，两直线平行。

• 1.3.6 平行线的性质:

  • 两直线平行，同位角相等。
  • 两直线平行，内错角相等。
  • 两直线平行，同旁内角互补。

• 1.3.7 平行公理及其推论:

  • 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
  • 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

二、三角形

2.1 三角形的定义及分类

• 2.1.1 定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

• 2.1.2 按角分类:

  • 锐角三角形: 三个角都是锐角。
  • 直角三角形: 有一个角是直角。
  • 钝角三角形: 有一个角是钝角。

• 2.1.3 按边分类:

  • 不等边三角形: 三条边都不相等。
  • 等腰三角形: 有两条边相等。
  • 等边三角形: 三条边都相等 (也是等腰三角形的一种特殊情况)。

2.2 三角形的重要线段

• 2.2.1 高: 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
• 2.2.2 中线: 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。
• 2.2.3 角平分线: 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段。

2.3 三角形的性质

• 2.3.1 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于 180°。

• 2.3.2 三角形外角的性质:

  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

• 2.3.3 三角形三边关系: 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

• 2.3.4 大角对大边，大边对大角。

2.4 全等三角形

• 2.4.1 定义: 能够完全重合的两个三角形。
• 2.4.2 全等三角形的性质: 对应边相等，对应角相等。

• 2.4.3 全等三角形的判定:

  • SSS: 三边对应相等。
  • SAS: 两边及其夹角对应相等。
  • ASA: 两角及其夹边对应相等。
  • AAS: 两角及其一角的对边对应相等。
  • HL: 斜边和一条直角边对应相等 (仅适用于直角三角形)。

2.5 特殊三角形

• 2.5.1 等腰三角形:

  • 两腰相等。
  • 两底角相等。
  • 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。

• 2.5.2 等边三角形:

  • 三边相等，三个角都等于 60°。
  • 三线合一 (任意一角的角平分线、对边上的中线、对边上的高互相重合)。

• 2.5.3 直角三角形:

  • 两个锐角互余。
  • 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
  • 勾股定理: a² + b² = c² (a, b 为直角边, c 为斜边)。
  • 勾股定理逆定理: 如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。

三、四边形

3.1 四边形的定义及分类

• 3.1.1 定义: 由四条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。

• 3.1.2 分类:

  • 任意四边形: 没有特殊性质。
  • 平行四边形: 两组对边分别平行的四边形。
  • 矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
  • 菱形: 四条边都相等的平行四边形。
  • 正方形: 四条边都相等，四个角都是直角的四边形 (既是矩形又是菱形)。

  • 梯形: 只有一组对边平行的四边形。

    • 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
    • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。

3.2 平行四边形的性质和判定

• 3.2.1 性质:

  • 对边平行且相等。
  • 对角相等。
  • 邻角互补。
  • 对角线互相平分。

• 3.2.2 判定:

  • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
  • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
  • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
  • 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.3 矩形、菱形、正方形的性质和判定

• 3.3.1 矩形:

  • 性质: 具备平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
  • 判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。

• 3.3.2 菱形:

  • 性质: 具备平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
  • 判定: 一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。

• 3.3.3 正方形:

  • 性质: 具备矩形和菱形的所有性质。
  • 判定: 有一个角是直角的菱形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形。

3.4 梯形的性质

• 3.4.1 等腰梯形: 同底上的两个角相等，对角线相等。
• 3.4.2 等腰梯形的判定: 同底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，对角线相等的梯形是等腰梯形。
• 3.4.3 梯形中位线: 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

四、轴对称与中心对称

4.1 轴对称图形

• 4.1.1 定义: 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 4.1.2 常见轴对称图形: 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、部分字母和数字。

4.2 中心对称图形

• 4.2.1 定义: 在平面内，一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
• 4.2.2 常见中心对称图形: 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。

4.3 轴对称的性质

• 4.3.1 对称点的连线被对称轴垂直平分。
• 4.3.2 对称轴是对称点连线的垂直平分线。
• 4.3.3 轴对称图形关于对称轴对称。

4.4 中心对称的性质

• 4.4.1 对称点关于对称中心对称。
• 4.4.2 中心对称图形关于对称中心对称。
• 4.4.3 对应线段平行（或共线）且相等。

五、圆

5.1 圆的定义及相关概念

• 5.1.1 定义: 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
• 5.1.2 圆心: 定点。
• 5.1.3 半径: 定长。
• 5.1.4 弦: 连接圆上任意两点的线段。
• 5.1.5 直径: 经过圆心的弦。
• 5.1.6 弧: 圆上任意两点之间的部分。
  • 优弧: 大于半圆的弧。
  • 劣弧: 小于半圆的弧。
• 5.1.7 圆心角: 顶点在圆心的角。
• 5.1.8 圆周角: 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。

5.2 圆的性质

• 5.2.1 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
• 5.2.2 垂径定理的逆定理: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
• 5.2.3 圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
• 5.2.4 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
• 5.2.5 推论:
  • 同弧或等弧所对的圆周角相等。
  • 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.3 点和圆的位置关系

• 5.3.1 点在圆内: 点到圆心的距离小于半径。
• 5.3.2 点在圆上: 点到圆心的距离等于半径。
• 5.3.3 点在圆外: 点到圆心的距离大于半径。

5.4 直线和圆的位置关系

• 5.4.1 相交: 直线和圆有两个公共点。
• 5.4.2 相切: 直线和圆只有一个公共点。
• 5.4.3 相离: 直线和圆没有公共点。

5.5 切线的判定和性质

• 5.5.1 判定:
  • 经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
  • 圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线。
• 5.5.2 性质: 圆的切线垂直于经过切点的半径。

5.6 圆与圆的位置关系

• 5.6.1 外离: 两圆没有公共点，圆心距大于两圆半径之和。
• 5.6.2 外切: 两圆只有一个公共点，且都在圆外，圆心距等于两圆半径之和。
• 5.6.3 相交: 两圆有两个公共点，圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差。
• 5.6.4 内切: 两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆内，圆心距等于两圆半径之差。
• 5.6.5 内含: 两圆没有公共点，一个圆在另一个圆内，圆心距小于两圆半径之差。

5.7 正多边形与圆

• 5.7.1 正多边形: 各边都相等，各角都相等的多边形。
• 5.7.2 正多边形与圆的关系: 正多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。这个圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
• 5.7.3 正多边形的中心角: 正多边形相邻两个顶点与中心连线所成的角。

六、 几何证明的基本方法

• 6.1 综合法: 从已知条件出发，通过已学过的定义、定理、公理等，逐步推出要证的结论。
• 6.2 分析法: 从要证的结论出发，逐步分析需要哪些条件，一直追溯到已知条件或者已知的定理等。
• 6.3 反证法: 假设结论不成立，经过推理，导出矛盾，从而肯定结论正确。

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