初三数学圆的思维导图
《初三数学圆的思维导图》
I. 圆的定义及基本概念
A. 定义
- 1. 圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
- 2. 圆心: 定点。
- 3. 半径: 定长 (通常用r表示)。
B. 相关概念
- 1. 弦: 连接圆上任意两点的线段。
- 2. 直径: 经过圆心的弦，是圆中最长的弦 (长度为2r)。
- 3. 弧: 圆上任意两点之间的部分。
- a. 优弧: 大于半圆的弧（表示：三个字母）。
- b. 劣弧: 小于半圆的弧（表示：两个字母）。
- 4. 圆心角: 顶点在圆心的角。
- 5. 圆周角: 顶点在圆上的角，角的两边与圆相交。
- 6. 扇形: 由两条半径和半径所对的一段弧围成的图形。
- 7. 弓形: 由弦和它所对的一段弧围成的图形。
- 8. 同圆或等圆: 半径相等的两个圆。
- 9. 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
- 10. 圆环: 由两个同心圆围成的平面图形。
C. 圆的表示
- 1. 圆的符号: ⊙
- 2. 圆的表示: ⊙O (读作：圆O)。
II. 圆的基本性质
A. 对称性
- 1. 中心对称: 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
- 2. 轴对称: 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是对称轴，有无数条对称轴。
B. 垂径定理及其推论
- 1. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 2. 推论:
- a. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- b. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
- c. 平分弦所对一条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦。
C. 圆心角、弧、弦的关系
- 1. 定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
- 2. 推论: 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 3. 注意: 必须是在同圆或等圆中。
D. 圆周角定理及其推论
- 1. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 2. 推论:
- a. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
- b. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
III. 点和圆的位置关系
A. 位置关系的种类
- 1. 点在圆外: d > r (d为点到圆心的距离)。
- 2. 点在圆上: d = r。
- 3. 点在圆内: d < r。
IV. 直线和圆的位置关系
A. 位置关系的种类
- 1. 相离: d > r (没有交点)。
- 2. 相切: d = r (一个交点，交点叫做切点，直线叫做切线)。
- 3. 相交: d < r (两个交点)。
B. 切线的判定和性质
- 1. 切线的判定:
- a. 定义法: 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。（不易使用）
- b. 判定定理: 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 2. 切线的性质:
C. 切线长定理
- 1. 切线长: 从圆外一点引圆的切线，这点到切点之间的线段的长叫做切线长。
- 2. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
V. 圆和圆的位置关系
A. 位置关系的种类
- 1. 外离: d > R + r (没有交点)。
- 2. 外切: d = R + r (一个交点)。
- 3. 相交: R - r < d < R + r (两个交点)。
- 4. 内切: d = R - r (一个交点，R>r)。
- 5. 内含: d < R - r (没有交点，R>r)。
- 6. 同心圆: 圆心相同，半径不同的两个圆。
B. 两圆公切线
- 1. 外公切线: 两圆都在切线的同一侧。
- 2. 内公切线: 两圆在切线的两侧。
- 3. 公切线的条数与两圆位置关系有关。
VI. 与圆有关的计算
A. 弧长公式
- 1. 弧长公式: L = (nπr)/180 (n为弧所对的圆心角的度数，r为半径)。
B. 扇形面积公式
- 1. 扇形面积公式: S = (nπr²)/360 = (1/2)Lr (n为扇形所对的圆心角的度数，r为半径，L为弧长)。
C. 圆锥的侧面积和全面积
- 1. 侧面积: S侧 = πrl (r为底面半径，l为母线长)。
- 2. 全面积: S全 = S侧 + S底 = πrl + πr² 。
VII. 正多边形与圆
A. 定义
- 1. 正多边形: 各边都相等，各角都相等的多边形。
- 2. 内角和: (n-2) * 180° (n为边数)。
- 3. 中心角: 正n边形的中心角等于 (360°)/n。
- 4. 半径: 正多边形的外接圆的半径。
- 5. 边心距: 从圆心到正多边形的一边的距离。
B. 正多边形的计算
- 1. 将正多边形分割成若干个等腰三角形进行计算。
- 2. 运用勾股定理、三角函数等知识进行计算。
VIII. 圆的方程 (选学)
A. 圆的标准方程
- (x - a)² + (y - b)² = r² (圆心为(a, b)，半径为r)。
B. 圆的一般方程
- x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0, 圆心为(-D/2, -E/2), 半径为√(D² + E² - 4F)/2)。
IX. 综合应用
A. 与三角形、四边形的结合
B. 与相似、全等的结合
C. 运用方程思想、分类讨论思想等解决问题
D. 几何证明、计算等。
