初三二次函数思维导图
《初三二次函数思维导图》
一、二次函数定义与基本概念
1.1 定义
- 形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数
- a, b, c 为常数
- x 为自变量，y 为因变量
- a 决定开口方向和开口大小，是二次项系数
- b 是一次项系数
- c 是常数项
1.2 一般形式
- y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- 顶点式: y = a(x - h)² + k (顶点坐标(h, k))
- 交点式: y = a(x - x₁)(x - x₂) (x₁, x₂ 是函数与 x 轴的交点横坐标)
- 注意：不同形式间的转化，如配方法。
1.3 图象
- 抛物线
- 对称轴: x = -b/2a
- 顶点坐标: (-b/2a, (4ac - b²)/4a)
- 开口方向:
- 顶点位置:
- a > 0，顶点是最低点
- a < 0，顶点是最高点
- 与 y 轴交点: (0, c)
二、二次函数的性质
2.1 开口方向与 a 的关系
- a > 0，开口向上，有最小值
- a < 0，开口向下，有最大值
- |a| 越大，开口越小；|a| 越小，开口越大
2.2 对称轴与 b 的关系
- 对称轴: x = -b/2a
- a, b 同号，对称轴在 y 轴左侧
- a, b 异号，对称轴在 y 轴右侧
- b = 0，对称轴是 y 轴
2.3 顶点坐标与函数的最值
- 顶点坐标: (-b/2a, (4ac - b²)/4a) 或 (h, k)
- 最值:
- a > 0，y 有最小值 (4ac - b²)/4a 或 k
- a < 0，y 有最大值 (4ac - b²)/4a 或 k
2.4 增减性
- a > 0:
- 对称轴左侧，y 随 x 增大而减小
- 对称轴右侧，y 随 x 增大而增大
- 对称轴左侧，y 随 x 增大而增大
- 对称轴右侧，y 随 x 增大而减小
2.5 与 x 轴的交点
- Δ = b² - 4ac
- Δ > 0，与 x 轴有两个交点
- Δ = 0，与 x 轴有一个交点 (顶点在 x 轴上)
- Δ < 0，与 x 轴没有交点
- 交点坐标的求解：解方程 ax² + bx + c = 0
三、二次函数的图象变换
3.1 平移变换
- 左加右减，上加下减
- y = ax² → y = a(x - h)² + k (顶点从 (0, 0) 平移到 (h, k))
- 沿 x 轴平移 h 个单位: y = ax² → y = a(x - h)²
- 沿 y 轴平移 k 个单位: y = ax² → y = ax² + k
3.2 对称变换
- 关于 x 轴对称: y = f(x) → y = -f(x)
- 关于 y 轴对称: y = f(x) → y = f(-x)
- 关于原点对称: y = f(x) → y = -f(-x)
3.3 伸缩变换
- y = ax² → y = kax² (改变 a 的值，影响开口大小)
四、二次函数的应用
4.1 最值问题
- 利用顶点坐标求最值
- 实际问题中的最值 (利润最大化、面积最大化等)
- 注意自变量的取值范围
4.2 与几何图形结合
- 抛物线与直线、三角形、四边形等
- 利用坐标系，将几何问题转化为代数问题
- 注意数形结合
4.3 实际问题建模
五、解题技巧与方法
5.1 配方法
5.2 待定系数法
- 根据已知条件，设出适当的函数形式
- 代入已知点的坐标，求出系数
- 适用于已知顶点、对称轴、交点等情况
5.3 数形结合
5.4 分类讨论
5.5 方程思想
六、易错点
6.1 忽略 a ≠ 0 的条件
6.2 顶点坐标公式记忆错误
- 顶点坐标是 (-b/2a, (4ac - b²)/4a)，注意符号
6.3 混淆平移变换的规律
6.4 对称轴的判断
6.5 最值问题中忽略自变量的取值范围
