二次函数思维导图图片
《二次函数思维导图图片》
一、二次函数的定义与性质
1.1 定义
- 一般式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- 顶点式： y = a(x - h)² + k (a ≠ 0)，顶点坐标(h, k)
- 交点式： y = a(x - x₁)(x - x₂) (a ≠ 0)，其中x₁和x₂是与x轴的交点
1.2 系数的影响
- a 的符号：
- a > 0，开口向上，有最小值
- a < 0，开口向下，有最大值
- |a| 的大小决定开口的宽度，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽
- b 的作用：
- 与 a 共同决定对称轴的位置：x = -b/2a
- 当a,b同号时，对称轴在y轴左侧；当a,b异号时，对称轴在y轴右侧。（左同右异）
- c 的作用：
1.3 图象与性质
- 对称轴： x = -b/2a
- 顶点坐标： (-b/2a, (4ac - b²)/4a) 或 (h, k)
- 增减性：
- a > 0：对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增
- a < 0：对称轴左侧单调递增，对称轴右侧单调递减
- 最大/最小值：
- a > 0：当 x = -b/2a 时，函数有最小值 (4ac - b²)/4a 或 k
- a < 0：当 x = -b/2a 时，函数有最大值 (4ac - b²)/4a 或 k
- 与 x 轴的交点：
- Δ = b² - 4ac > 0，有两个不相等的实数根，与 x 轴有两个交点
- Δ = b² - 4ac = 0，有两个相等的实数根，与 x 轴有一个交点（相切）
- Δ = b² - 4ac < 0，没有实数根，与 x 轴没有交点
二、二次函数与方程、不等式的关系
2.1 二次函数与一元二次方程
- 方程的根： ax² + bx + c = 0 的根是二次函数 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标
- 根的判别式： Δ = b² - 4ac 决定方程根的情况，也决定了图像与x轴交点个数
2.2 二次函数与一元二次不等式
- 利用图像求解： 将不等式转化为函数图像与 x 轴的关系，观察图像在 x 轴上方或下方对应的 x 的取值范围。
- 大于型： ax² + bx + c > 0 对应函数图像在 x 轴上方的部分
- 小于型： ax² + bx + c < 0 对应函数图像在 x 轴下方的部分
三、二次函数的应用
3.1 最值问题
- 几何问题： 利用二次函数求面积、周长等的最大/最小值。
- 实际问题： 利润最大化，成本最小化等问题，通常需要建立二次函数模型。
3.2 建立二次函数模型
- 列方程/函数关系式： 根据题意，找出等量关系或函数关系，建立二次函数模型。
- 分析与求解： 分析模型的性质，例如开口方向、顶点坐标等，求解最值或满足特定条件的解。
四、二次函数图像的变换
4.1 平移变换
- 左右平移： y = a(x - h)² + k 中，h > 0 向右平移 |h| 个单位，h < 0 向左平移 |h| 个单位。
- 上下平移： y = a(x - h)² + k 中，k > 0 向上平移 |k| 个单位，k < 0 向下平移 |k| 个单位。
4.2 对称变换
- 关于 x 轴对称： y = - (ax² + bx + c)
- 关于 y 轴对称： y = a(-x)² + b(-x) + c = ax² - bx + c
- 关于原点对称： y = - (a(-x)² + b(-x) + c) = -ax² + bx - c
4.3 伸缩变换
- 横向伸缩： y = a(mx)² + b(mx) + c (m > 0)，当 0 < m < 1 时，横向伸长；当 m > 1 时，横向缩短。
- 纵向伸缩： my = ax² + bx + c (m > 0)，当 0 < m < 1 时，纵向缩短；当 m > 1 时，纵向伸长。 等价于 y = (a/m)x² + (b/m)x + (c/m)。
五、解题技巧与方法
5.1 配方法
- 将一般式 y = ax² + bx + c 转化为顶点式 y = a(x - h)² + k，便于求解顶点坐标、对称轴和最值。
5.2 判别式法
- 利用 Δ = b² - 4ac 判断方程根的情况，从而判断二次函数与 x 轴的交点情况。
5.3 数形结合法
- 利用二次函数的图像，直观地解决问题，例如不等式的解、最值问题等。
5.4 分类讨论法
- 当参数变化时，需要分情况讨论，例如开口方向、对称轴位置等。
5.5 换元法
- 对于一些复杂的问题，可以通过换元，将问题转化为简单的二次函数问题。例如含有x^4项的方程，可以设t=x^2。
