《二次函数思维导图高清》
一、概念与定义
1. 定义
- 一般形式：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- a, b, c 为常数，x 为自变量，y 为因变量
- a 决定开口方向和开口大小，b 和 a 共同决定对称轴位置，c 决定与 y 轴的交点
2. 特殊形式
- 顶点式：y = a(x - h)² + k
- (h, k) 为顶点坐标
- 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)
- x₁ 和 x₂ 为与 x 轴的交点坐标 (根)
- 两根式（已知两根）：y = a(x - x₁)(x - x₂) (与交点式相同)
3. 判别式 (Δ = b² - 4ac)
- Δ > 0：与 x 轴有两个不同的交点
- Δ = 0：与 x 轴有一个交点 (顶点在 x 轴上，与 x 轴相切)
- Δ < 0：与 x 轴没有交点
二、图像与性质
1. 开口方向
- a > 0：开口向上，有最小值
- a < 0：开口向下，有最大值
2. 对称轴
- 对称轴方程：x = -b / 2a
- 顶点式：对称轴为 x = h
3. 顶点坐标
- 顶点坐标：(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)
- 顶点式：顶点坐标为 (h, k)
4. 最值
- a > 0：当 x = -b / 2a 时，有最小值 (4ac - b²) / 4a (顶点纵坐标)
- a < 0：当 x = -b / 2a 时，有最大值 (4ac - b²) / 4a (顶点纵坐标)
- 在给定区间上的最值问题需要考虑顶点是否在区间内，以及区间的端点值。
5. 与坐标轴的交点
- 与 y 轴的交点：(0, c)
- 与 x 轴的交点：解方程 ax² + bx + c = 0 得到 x₁ 和 x₂。 交点坐标为 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)。
6. 图像的平移
- 左加右减：y = a(x - h)² + k 中，h>0 向右平移, h<0 向左平移。
- 上加下减：y = a(x - h)² + k 中，k>0 向上平移, k<0 向下平移。
7. 增减性
- a > 0：对称轴左侧递减，对称轴右侧递增
- a < 0：对称轴左侧递增，对称轴右侧递减
三、常见题型与解题方法
1. 求解析式
- 待定系数法
- 已知三个点：代入一般式 y = ax² + bx + c，解三元一次方程组
- 已知顶点坐标或对称轴：代入顶点式 y = a(x - h)² + k
- 已知与 x 轴的交点坐标：代入交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)
- 已知顶点及另一点：代入顶点式并求 a
2. 最值问题
- 配方法：将一般式化为顶点式，直接读取顶点纵坐标
- 公式法：直接使用顶点坐标公式
- 数形结合：根据图像确定最值点
3. 与 x 轴交点问题
- 解方程：ax² + bx + c = 0
- 判别式：判断根的个数 (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0)
- 根与系数的关系 (韦达定理)：x₁ + x₂ = -b / a, x₁ * x₂ = c / a
4. 图像变换
- 平移：遵循“左加右减，上加下减”的原则
- 对称：
- 关于 x 轴对称：y 变为 -y
- 关于 y 轴对称：x 变为 -x
- 关于原点对称：x 变为 -x, y 变为 -y
5. 综合应用
- 二次函数与方程、不等式结合
- 二次函数与几何图形结合
- 二次函数与实际问题结合
- 动点问题，寻找变量关系，建立二次函数模型
四、重要结论与公式
1. 顶点坐标公式
- (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)
2. 对称轴公式
- x = -b / 2a
3. 判别式
- Δ = b² - 4ac
4. 根与系数的关系 (韦达定理)
- x₁ + x₂ = -b / a
- x₁ * x₂ = c / a
5. 开口大小与 |a| 的关系
- |a| 越大，开口越小 (越陡峭)
- |a| 越小，开口越大 (越平缓)
五、注意事项
1. a ≠ 0 的前提条件必须牢记
2. 注意二次函数的对称性
3. 注意数形结合，利用图像辅助解题
4. 灵活运用各种形式的函数解析式
5. 掌握配方法，是解决二次函数问题的关键
6. 审题时要仔细，避免漏解错解
7. 在实际应用中，注意定义域的限制
六、高等数学的延伸
1.导数与二次函数
导数可以求二次函数的极值点，与顶点坐标一致。 二阶导数可以判断二次函数的凹凸性。
2.积分与二次函数
*可以积分求二次函数图像与x轴之间的面积。