《初一几何图形思维导图》

一、点、线、面、体

1. 基本概念

• 点: 没有大小，只有位置。
  • 表示方法：用大写字母表示，如点A，点B，点C。
• 线:
  • 直线：没有端点，可以向两端无限延伸。
    • 表示方法：
      • 用直线上的两个点表示，如直线AB。
      • 用一个小写字母表示，如直线l。
  • 射线：只有一个端点，可以向一端无限延伸。
    • 表示方法：用端点和射线上另一点表示，端点字母写在前面，如射线OA。
  • 线段：有两个端点，长度可以测量。
    • 表示方法：用线段的两个端点表示，如线段AB。
    • 比较线段长短：
      • 叠合法：将一条线段放到另一条线段上进行比较。
      • 度量法：用刻度尺测量线段长度进行比较。
  • 线段的中点：将线段分成两条相等线段的点。
    • 性质：中点到线段两端距离相等。
• 面:
  • 平面：可以无限延伸，没有厚度。
  • 曲面：如球面，柱面等。
• 体: 占据空间，有长、宽、高。

2. 直线、射线、线段的区别与联系

• 区别：端点个数不同、延伸方向不同、能否测量长度不同。
• 联系：线段和射线都是直线的一部分。

3. 两点确定一条直线

• 基本事实：经过两点有且只有一条直线。
• 应用：常用于判断三点是否共线。

4. 两点之间线段最短

• 基本事实：两点之间，线段最短。
• 两点间的距离：连接两点的线段的长度。

二、角

1. 角的定义

• 定义一：由一个公共端点的两条射线组成的图形。
  • 公共端点：角的顶点。
  • 两条射线：角的边。
• 定义二：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。

2. 角的表示方法

• 用三个大写字母表示，顶点字母必须写在中间，如∠AOB。
• 用一个大写字母表示，顶点只有一个角时，如∠O。
• 用一个数字或希腊字母表示，如∠1，∠α。

3. 角的度量

• 单位：度(°)、分(')、秒(")。
• 换算关系：1°=60'，1'=60"。

4. 角的分类

• 锐角：大于0°小于90°的角。
• 直角：等于90°的角。
• 钝角：大于90°小于180°的角。
• 平角：等于180°的角。
• 周角：等于360°的角。

5. 角的比较与运算

• 叠合法：将一个角放到另一个角上进行比较。
• 度量法：用量角器测量角的度数进行比较。
• 角的和、差、倍、分。

6. 角的平分线

• 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
• 性质：角平分线上的点到角的两边距离相等 (初二学习)。

7. 余角与补角

• 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
• 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
• 性质：
  • 同角或等角的余角相等。
  • 同角或等角的补角相等。

8. 方位角

• 以正北或正南方向为基准，描述物体方向的角。
• 表示方法：北偏东/西多少度，南偏东/西多少度。

三、相交线与平行线

1. 相交线

• 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
  • 性质：对顶角相等。
• 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角互为邻补角。
  • 性质：邻补角互补。
• 垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直。
  • 记作：AB⊥CD
  • 垂线：其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
  • 垂足：交点叫做垂足。
• 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

2. 平行线

• 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
  • 记作：AB∥CD
• 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 平行线的判定
  • 同位角相等，两直线平行。
  • 内错角相等，两直线平行。
  • 同旁内角互补，两直线平行。
• 平行线的性质
  • 两直线平行，同位角相等。
  • 两直线平行，内错角相等。
  • 两直线平行，同旁内角互补。
• 命题：判断一件事情的语句。
  • 组成：题设（已知条件）和结论（要证明的事项）。
• 平移
  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
  • 性质：
    • 平移不改变图形的形状和大小。
    • 经过平移，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

• 三角形

  • 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  • 表示：三角形ABC, 记作△ABC
  • 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，简称高。
  • 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，简称中线。
  • 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

四、几何图形的应用

1. 实际问题中的应用

• 地图绘制
• 建筑设计
• 测量
• 航海

2. 逻辑推理的应用

• 证明几何命题
• 解决复杂的几何问题

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