初中几何图形思维导图

# 《初中几何图形思维导图》

## 一、点、线、角

### 1. 点
*   1.1 定义：无大小，只有位置。
    *   1.2 表示方法：大写字母（A，B，C...）
    *   1.3 重要概念：线段的端点、射线端点、直线上的点、坐标系中的点

### 2. 线

*   2.1 直线
        *   2.1.1 定义：无限延伸，没有端点。
        *   2.1.2 表示方法：
            *   小写字母 (l, m, n...)
            *   两个大写字母（直线 AB 或直线 BA）
        *   2.1.3 性质：两点确定一条直线。
    *   2.2 射线
        *   2.2.1 定义：只有一个端点，向一方无限延伸。
        *   2.2.2 表示方法：两个大写字母（射线OA，端点必须在前面）
        *   2.2.3 重要概念：端点，方向
    *   2.3 线段
        *   2.3.1 定义：有两个端点。
        *   2.3.2 表示方法：两个大写字母（线段 AB 或线段 BA）
        *   2.3.3 重要概念：中点、线段的长度
        *   2.3.4 线段的比较：叠合法、度量法
    *   2.4 相交线与平行线
        *   2.4.1 相交线：
            *   2.4.1.1 对顶角：相等
            *   2.4.1.2 邻补角：互补
            *   2.4.1.3 垂直：定义、性质（垂线段最短）、点到直线的距离
        *   2.4.2 平行线：
            *   2.4.2.1 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。
            *   2.4.2.2 性质：
                *   同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
            *   2.4.2.3 判定：
                *   同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
                *   平行于同一条直线的两直线平行

### 3. 角

*   3.1 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。
    *   3.2 表示方法：
        *   三个大写字母（∠AOB，顶点在中间）
        *   一个大写字母（∠O，顶点处只有一个角时）
        *   数字（∠1，∠2...）
        *   希腊字母（∠α，∠β...）
    *   3.3 角的分类：
        *   锐角：0° < 角 < 90°
        *   直角：角 = 90°
        *   钝角：90° < 角 < 180°
        *   平角：角 = 180°
        *   周角：角 = 360°
    *   3.4 角的度量：度、分、秒 (1°=60', 1'=60")
    *   3.5 角的运算：角的加减、角的倍分
    *   3.6 余角与补角：
        *   余角：两个角的和等于 90°
        *   补角：两个角的和等于 180°
        *   性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
    *   3.7 角平分线：
        *   定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角。

## 二、三角形

### 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

### 2. 分类
*   2.1 按角分：
        *   锐角三角形：三个角都是锐角
        *   直角三角形：有一个角是直角
        *   钝角三角形：有一个角是钝角
    *   2.2 按边分：
        *   不等边三角形
        *   等腰三角形：
            *   定义：有两条边相等的三角形。
            *   性质：两底角相等（等边对等角）
            *   三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
        *   等边三角形：
            *   定义：三条边都相等的三角形。
            *   性质：三个角都等于 60°

### 3. 重要线段

*   3.1 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
    *   3.2 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
    *   3.3 高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
    *   3.4 中位线：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半。

### 4. 重要性质

*   4.1 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
    *   4.2 三角形外角的性质：
        *   三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
        *   三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。
    *   4.3 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

### 5. 全等三角形

*   5.1 定义：能够完全重合的两个三角形。
    *   5.2 性质：对应边相等，对应角相等。
    *   5.3 判定：
        *   SSS (边边边)
        *   SAS (边角边)
        *   ASA (角边角)
        *   AAS (角角边)
        *   HL (斜边、直角边，仅适用于直角三角形)

### 6. 相似三角形

*   6.1 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
    *   6.2 性质：对应角相等，对应边成比例。
    *   6.3 判定：
        *   平行于三角形一边的直线（或这条直线的延长线）截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
        *   两角对应相等。
        *   两边对应成比例且夹角相等。
        *   三边对应成比例。
    *   6.4 重要结论：相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比；面积比等于相似比的平方。

### 7. 特殊三角形

*   7.1 直角三角形
        *   勾股定理：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边)
        *   勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
        *   30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
    *   7.2 等腰三角形：见2.2 按边分。
    *   7.3 等边三角形：见2.2 按边分。

## 三、四边形

### 1. 定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

### 2. 多边形内角和公式：(n-2) * 180° (n为边数)

### 3. 分类

*   3.1 平行四边形
        *   定义：两组对边分别平行的四边形。
        *   性质：
            *   对边平行且相等。
            *   对角相等。
            *   对角线互相平分。
        *   判定：
            *   两组对边分别平行的四边形。
            *   两组对边分别相等的四边形。
            *   一组对边平行且相等的四边形。
            *   对角线互相平分的四边形。
    *   3.2 矩形
        *   定义：有一个角是直角的平行四边形。
        *   性质：
            *   具有平行四边形的所有性质。
            *   四个角都是直角。
            *   对角线相等。
        *   判定：
            *   有一个角是直角的平行四边形。
            *   对角线相等的平行四边形。
            *   有三个角是直角的四边形。
    *   3.3 菱形
        *   定义：有一组邻边相等的平行四边形。
        *   性质：
            *   具有平行四边形的所有性质。
            *   四条边都相等。
            *   对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
        *   判定：
            *   有一组邻边相等的平行四边形。
            *   对角线互相垂直的平行四边形。
            *   四条边都相等的四边形。
    *   3.4 正方形
        *   定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（或者说：既是矩形又是菱形的四边形）。
        *   性质：
            *   具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
            *   四条边都相等，四个角都是直角。
            *   对角线相等且互相垂直平分，且平分每一组对角。
        *   判定：
            *   有一组邻边相等的矩形。
            *   有一个角是直角的菱形。
    *   3.5 梯形
        *   定义：只有一组对边平行的四边形。
        *   分类：
            *   等腰梯形：两腰相等的梯形。
            *   直角梯形：有一个角是直角的梯形。
        *   等腰梯形的性质：同一底上的两个角相等，对角线相等。

## 四、圆

### 1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

### 2. 基本概念

*   2.1 圆心：定点。
    *   2.2 半径：定长。
    *   2.3 直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
    *   2.4 弦：连接圆上任意两点的线段。
    *   2.5 弧：圆上任意两点之间的部分。
    *   2.6 优弧：大于半圆的弧。
    *   2.7 劣弧：小于半圆的弧。
    *   2.8 圆心角：顶点在圆心的角。
    *   2.9 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

### 3. 重要性质

*   3.1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
    *   3.2 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
    *   3.3 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
    *   3.4 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
    *   3.5 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
    *   3.6 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

### 4. 点和圆的位置关系

*   4.1 点在圆内：点到圆心的距离小于半径。
    *   4.2 点在圆上：点到圆心的距离等于半径。
    *   4.3 点在圆外：点到圆心的距离大于半径。

### 5. 直线与圆的位置关系

*   5.1 相交：直线和圆有两个交点。
    *   5.2 相切：直线和圆只有一个交点。
    *   5.3 相离：直线和圆没有交点。
    *   5.4 切线的判定：
        *   经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
    *   5.5 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
    *   5.6 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

### 6. 圆与圆的位置关系

*   6.1 外离：两圆没有公共点，且圆心距大于两圆半径之和。
    *   6.2 外切：两圆只有一个公共点，且圆心距等于两圆半径之和。
    *   6.3 相交：两圆有两个公共点，且圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差。
    *   6.4 内切：两圆只有一个公共点，且圆心距等于两圆半径之差。
    *   6.5 内含：两圆没有公共点，且圆心距小于两圆半径之差。

### 7. 弧长和扇形面积

*   7.1 弧长公式：l = (nπr) / 180  (n 为圆心角度数，r 为半径)
    *   7.2 扇形面积公式：S = (nπr²) / 360 = (1/2)lr (n 为圆心角度数，r 为半径，l 为弧长)

### 8. 圆锥

*   8.1 侧面展开图：扇形。
    *   8.2 侧面积：S = πrl （r 为底面半径，l 为母线长）

## 五、尺规作图

### 1. 基本作图

*   1.1 作一条线段等于已知线段。
    *   1.2 作一个角等于已知角。
    *   1.3 作角的平分线。
    *   1.4 作线段的垂直平分线。
    *   1.5 过一点作已知直线的垂线。

### 2. 复杂作图：通常需要转化为基本作图的组合。

## 六、图形的变换

### 1. 平移
*  1.1 定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
    *  1.2 性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

### 2. 轴对称

*   2.1 定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
    *   2.2 性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分。对应线段相等，对应角相等。

### 3. 中心对称

*   3.1 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
    *   3.2 性质：对应点所连线段被对称中心平分。对应线段相等，对应角相等。

### 4. 旋转

*   4.1 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
    *   4.2 性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置。对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角。

《初中几何图形思维导图》

一、点、线、角

1. 点

1.1 定义：无大小，只有位置。
- 1.2 表示方法：大写字母（A，B，C...）
- 1.3 重要概念：线段的端点、射线端点、直线上的点、坐标系中的点

2. 线

*   2.1 直线
    *   2.1.1 定义：无限延伸，没有端点。
    *   2.1.2 表示方法：
        *   小写字母 (l, m, n...)
        *   两个大写字母（直线 AB 或直线 BA）
    *   2.1.3 性质：两点确定一条直线。
*   2.2 射线
    *   2.2.1 定义：只有一个端点，向一方无限延伸。
    *   2.2.2 表示方法：两个大写字母（射线OA，端点必须在前面）
    *   2.2.3 重要概念：端点，方向
*   2.3 线段
    *   2.3.1 定义：有两个端点。
    *   2.3.2 表示方法：两个大写字母（线段 AB 或线段 BA）
    *   2.3.3 重要概念：中点、线段的长度
    *   2.3.4 线段的比较：叠合法、度量法
*   2.4 相交线与平行线
    *   2.4.1 相交线：
        *   2.4.1.1 对顶角：相等
        *   2.4.1.2 邻补角：互补
        *   2.4.1.3 垂直：定义、性质（垂线段最短）、点到直线的距离
    *   2.4.2 平行线：
        *   2.4.2.1 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。
        *   2.4.2.2 性质：
            *   同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
        *   2.4.2.3 判定：
            *   同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
            *   平行于同一条直线的两直线平行

3. 角

*   3.1 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。
*   3.2 表示方法：
    *   三个大写字母（∠AOB，顶点在中间）
    *   一个大写字母（∠O，顶点处只有一个角时）
    *   数字（∠1，∠2...）
    *   希腊字母（∠α，∠β...）
*   3.3 角的分类：
    *   锐角：0° < 角 < 90°
    *   直角：角 = 90°
    *   钝角：90° < 角 < 180°
    *   平角：角 = 180°
    *   周角：角 = 360°
*   3.4 角的度量：度、分、秒 (1°=60', 1'=60")
*   3.5 角的运算：角的加减、角的倍分
*   3.6 余角与补角：
    *   余角：两个角的和等于 90°
    *   补角：两个角的和等于 180°
    *   性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
*   3.7 角平分线：
    *   定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角。

二、三角形

1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

2. 分类

2.1 按角分：
- 锐角三角形：三个角都是锐角
- 直角三角形：有一个角是直角
- 钝角三角形：有一个角是钝角
  - 2.2 按边分：
- 不等边三角形
- 等腰三角形：
  - 定义：有两条边相等的三角形。
  - 性质：两底角相等（等边对等角）
  - 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
- 等边三角形：
  - 定义：三条边都相等的三角形。
  - 性质：三个角都等于 60°

3. 重要线段

*   3.1 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
*   3.2 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
*   3.3 高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
*   3.4 中位线：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半。

4. 重要性质

*   4.1 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
*   4.2 三角形外角的性质：
    *   三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
    *   三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。
*   4.3 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

5. 全等三角形

*   5.1 定义：能够完全重合的两个三角形。
*   5.2 性质：对应边相等，对应角相等。
*   5.3 判定：
    *   SSS (边边边)
    *   SAS (边角边)
    *   ASA (角边角)
    *   AAS (角角边)
    *   HL (斜边、直角边，仅适用于直角三角形)

6. 相似三角形

*   6.1 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
*   6.2 性质：对应角相等，对应边成比例。
*   6.3 判定：
    *   平行于三角形一边的直线（或这条直线的延长线）截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
    *   两角对应相等。
    *   两边对应成比例且夹角相等。
    *   三边对应成比例。
*   6.4 重要结论：相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比；面积比等于相似比的平方。

7. 特殊三角形

*   7.1 直角三角形
    *   勾股定理：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边)
    *   勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
    *   30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
*   7.2 等腰三角形：见2.2 按边分。
*   7.3 等边三角形：见2.2 按边分。

三、四边形

1. 定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

2. 多边形内角和公式：(n-2) * 180° (n为边数)

3. 分类

*   3.1 平行四边形
    *   定义：两组对边分别平行的四边形。
    *   性质：
        *   对边平行且相等。
        *   对角相等。
        *   对角线互相平分。
    *   判定：
        *   两组对边分别平行的四边形。
        *   两组对边分别相等的四边形。
        *   一组对边平行且相等的四边形。
        *   对角线互相平分的四边形。
*   3.2 矩形
    *   定义：有一个角是直角的平行四边形。
    *   性质：
        *   具有平行四边形的所有性质。
        *   四个角都是直角。
        *   对角线相等。
    *   判定：
        *   有一个角是直角的平行四边形。
        *   对角线相等的平行四边形。
        *   有三个角是直角的四边形。
*   3.3 菱形
    *   定义：有一组邻边相等的平行四边形。
    *   性质：
        *   具有平行四边形的所有性质。
        *   四条边都相等。
        *   对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
    *   判定：
        *   有一组邻边相等的平行四边形。
        *   对角线互相垂直的平行四边形。
        *   四条边都相等的四边形。
*   3.4 正方形
    *   定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（或者说：既是矩形又是菱形的四边形）。
    *   性质：
        *   具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
        *   四条边都相等，四个角都是直角。
        *   对角线相等且互相垂直平分，且平分每一组对角。
    *   判定：
        *   有一组邻边相等的矩形。
        *   有一个角是直角的菱形。
*   3.5 梯形
    *   定义：只有一组对边平行的四边形。
    *   分类：
        *   等腰梯形：两腰相等的梯形。
        *   直角梯形：有一个角是直角的梯形。
    *   等腰梯形的性质：同一底上的两个角相等，对角线相等。

四、圆

1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

2. 基本概念

*   2.1 圆心：定点。
*   2.2 半径：定长。
*   2.3 直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
*   2.4 弦：连接圆上任意两点的线段。
*   2.5 弧：圆上任意两点之间的部分。
*   2.6 优弧：大于半圆的弧。
*   2.7 劣弧：小于半圆的弧。
*   2.8 圆心角：顶点在圆心的角。
*   2.9 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

3. 重要性质

*   3.1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
*   3.2 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
*   3.3 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
*   3.4 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
*   3.5 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
*   3.6 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

4. 点和圆的位置关系

*   4.1 点在圆内：点到圆心的距离小于半径。
*   4.2 点在圆上：点到圆心的距离等于半径。
*   4.3 点在圆外：点到圆心的距离大于半径。

5. 直线与圆的位置关系

*   5.1 相交：直线和圆有两个交点。
*   5.2 相切：直线和圆只有一个交点。
*   5.3 相离：直线和圆没有交点。
*   5.4 切线的判定：
    *   经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
*   5.5 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
*   5.6 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6. 圆与圆的位置关系

*   6.1 外离：两圆没有公共点，且圆心距大于两圆半径之和。
*   6.2 外切：两圆只有一个公共点，且圆心距等于两圆半径之和。
*   6.3 相交：两圆有两个公共点，且圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差。
*   6.4 内切：两圆只有一个公共点，且圆心距等于两圆半径之差。
*   6.5 内含：两圆没有公共点，且圆心距小于两圆半径之差。

7. 弧长和扇形面积

*   7.1 弧长公式：l = (nπr) / 180  (n 为圆心角度数，r 为半径)
*   7.2 扇形面积公式：S = (nπr²) / 360 = (1/2)lr (n 为圆心角度数，r 为半径，l 为弧长)

8. 圆锥

*   8.1 侧面展开图：扇形。
*   8.2 侧面积：S = πrl （r 为底面半径，l 为母线长）

五、尺规作图

1. 基本作图

*   1.1 作一条线段等于已知线段。
*   1.2 作一个角等于已知角。
*   1.3 作角的平分线。
*   1.4 作线段的垂直平分线。
*   1.5 过一点作已知直线的垂线。

2. 复杂作图：通常需要转化为基本作图的组合。

六、图形的变换

1. 平移

1.1 定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
- 1.2 性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

2. 轴对称

*   2.1 定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
*   2.2 性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分。对应线段相等，对应角相等。

3. 中心对称

*   3.1 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
*   3.2 性质：对应点所连线段被对称中心平分。对应线段相等，对应角相等。

4. 旋转

*   4.1 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
*   4.2 性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置。对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角。

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