七上数学第二章思维导图

《七上数学第二章思维导图》

中心主题： 有理数

分支一：有理数的概念

• 定义：
  • 整数与分数的统称
  • 可以表示成分数 p/q (p,q为整数且q≠0) 的数
• 分类：
  • 按定义分类：
    • 有理数
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
  • 按性质符号分类：
    • 有理数
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
• 易错点：
  • 0既不是正数也不是负数，是整数。
  • 有限小数和无限循环小数可以化为分数，是有理数。
  • 无限不循环小数不是有理数。
• 重要概念：
  • 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 原点：数轴上表示0的点。
  • 正方向：数轴上箭头所指的方向。
  • 单位长度：数轴上表示1的点到原点的距离。
  • 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 a的相反数是-a。
  • 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。

分支二：有理数的运算

• 加法：
  • 法则：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 一个数同0相加，仍得这个数。
  • 运算律：
    • 加法交换律： a + b = b + a
    • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 减法：
  • 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)
• 乘法：
  • 法则：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数同0相乘，都得0。
  • 运算律：
    • 乘法交换律： a × b = b × a
    • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
    • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
• 除法：
  • 法则：
    • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 即 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
• 乘方：
  • 定义： 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • 表示： aⁿ (a为底数，n为指数，aⁿ读作a的n次方)
  • 符号法则：
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。
• 混合运算：
  • 运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
  • 注意事项：
    • 灵活运用运算律简化运算。
    • 注意符号的确定。
    • 能简算的尽量简算。

分支三：科学计数法与近似数

• 科学计数法：
  • 定义： 把一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，这种计数方法叫做科学计数法。 n等于原数整数部分的位数减1。
  • 表示方法： a × 10ⁿ
  • 注意事项：
    • a的范围：1≤|a|<10
    • n的确定：n等于原数整数部分的位数减1。
• 近似数：
  • 精确度： 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
  • 有效数字： 从一个数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
  • 确定方法：
    • 四舍五入法：根据精确度要求进行四舍五入。
    • 根据题目要求进行取舍。
• 计算器的使用
  • 了解计算器的基本按键功能
  • 能够使用计算器进行有理数的混合运算
  • 注意事项：输入数据的顺序，以及运算符号的使用。

分支四：有理数大小的比较

• 数轴法： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
• 法则：
  • 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。
• 间接比较：
  • 若 a - b > 0，则 a > b
  • 若 a - b < 0，则 a < b
  • 若 a - b = 0，则 a = b

分支五：有理数的实际应用

• 正负数表示意义相反的量：
  • 上升/下降
  • 盈利/亏损
  • 增加/减少
  • 收入/支出
• 实际问题的解决：
  • 注意审题，理解题意。
  • 正确选择合适的运算方法。
  • 注意单位和答语的完整性。
• 数形结合思想：
  • 利用数轴解决问题。
  • 利用绝对值的几何意义解决问题。

重要思想方法：

• 分类讨论思想： 对有理数进行分类，针对不同情况进行讨论。
• 数形结合思想： 利用数轴直观地表示有理数，解决相关问题。
• 转化思想： 将减法转化为加法，除法转化为乘法，复杂运算转化为简单运算。
• 绝对值思想： 利用绝对值的定义和性质解决问题。

容易混淆的概念：

• 区分有理数与无理数。
• 区分相反数与倒数。
• 理解科学计数法中a的范围和n的意义。
• 区分精确度与有效数字。

学习技巧：

• 多做练习，熟练掌握各种运算法则。
• 注意总结归纳，形成知识体系。
• 培养数感，提高运算能力。
• 善于思考，举一反三。