七年级数学思维导图
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# 《七年级数学思维导图》
## 一、有理数
### 1.1 有理数的概念
* **定义：** 整数和分数的统称。
* **整数：** 正整数、零、负整数
* **分数：** 正分数、负分数
* **分类：**
* **按定义分：** 有理数 -> {整数, 分数} -> {正整数, 零, 负整数, 正分数, 负分数}
* **按性质分：** 有理数 -> {正数, 零, 负数} -> {正整数, 正分数, 零, 负整数, 负分数}
* **数轴：**
* **定义：** 规定了原点、正方向、单位长度的直线。
* **作用：** 直观表示数；比较有理数的大小。
* **相反数：**
* **定义：** 只有符号不同的两个数互为相反数。
* **性质：** a的相反数是-a；0的相反数是0；在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。
* **绝对值：**
* **定义：** 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
* **几何意义：** 点到原点的距离。
* **代数意义：** |a| = { a (a ≥ 0), -a (a < 0) }
* **性质：** 非负性（|a| ≥ 0）；绝对值最小的数是0。
* **倒数：**
* **定义：** 乘积是1的两个数互为倒数。
* **性质：** a的倒数是1/a (a ≠ 0)；1的倒数是1；-1的倒数是-1；0没有倒数。
### 1.2 有理数的运算
* **加法：**
* **法则：**
* 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
* 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
* 一个数同0相加，仍得这个数。
* **运算律：**
* 交换律：a + b = b + a
* 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
* **减法：**
* **法则：** 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a - b = a + (-b)
* **乘法：**
* **法则：**
* 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
* 任何数同0相乘，都得0。
* **运算律：**
* 交换律：a × b = b × a
* 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
* 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
* **除法：**
* **法则：** 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
* **乘方：**
* **定义：** 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
* **表示：** an (a是底数，n是指数)
* **符号法则：** 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
* **有理数的混合运算：**
* **运算顺序：** 先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。
## 二、整式的加减
### 2.1 代数式
* **定义：** 用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
* **单独一个数或一个字母也是代数式。**
* **代数式的值：** 用具体数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果。
### 2.2 单项式
* **定义：** 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
* **系数：** 单项式中的数字因数。
* **次数：** 单项式中所有字母的指数的和。
### 2.3 多项式
* **定义：** 几个单项式的和叫做多项式。
* **项：** 多项式中的每个单项式。
* **常数项：** 不含字母的项。
* **次数：** 多项式中次数最高的项的次数。
### 2.4 整式
* **定义：** 单项式和多项式统称为整式。
### 2.5 同类项
* **定义：** 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
* **合并同类项：** 把多项式中的同类项合并成一项。
* **法则：** 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
### 2.6 去括号与添括号
* **去括号法则：**
* 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号。
* 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
* **添括号法则：**
* 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号。
* 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
### 2.7 整式的加减
* **步骤：**
1. 去括号
2. 合并同类项
## 三、一元一次方程
### 3.1 方程
* **定义：** 含有未知数的等式叫做方程。
* **一元一次方程：** 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
* **方程的解：** 使方程左右两边相等的未知数的值。
* **解方程：** 求方程的解的过程。
### 3.2 等式的性质
* **性质1：** 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
* **性质2：** 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
### 3.3 解一元一次方程
* **移项：** 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
* **步骤：**
1. 去分母 (乘以各分母的最小公倍数)
2. 去括号
3. 移项 (把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边)
4. 合并同类项
5. 系数化为1 (方程两边都除以未知数的系数)
### 3.4 一元一次方程的应用
* **列方程解应用题的步骤：**
1. 审题 (弄清题意和题目中的已知数、未知数)
2. 设元 (设未知数，通常设所求的量为x)
3. 列方程 (根据题中的相等关系列出方程)
4. 解方程 (求出方程的解)
5. 检验 (检验所求的解是否符合题意)
6. 答 (写出答案)
* **常见题型：**
* 行程问题： 距离 = 速度 × 时间
* 工程问题： 工作量 = 工作效率 × 工作时间
* 销售问题： 利润 = 售价 - 成本; 利润率 = (利润 / 成本) × 100%
* 储蓄问题： 利息 = 本金 × 利率 × 时间
* 年龄问题：抓住年龄增长，大小之间的年龄差不变
* 数字问题：表示一个多位数，如一个两位数表示为10a + b
## 四、几何图形初步
### 4.1 立体图形与平面图形
* **立体图形：** 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
* **平面图形：** 三角形、正方形、圆等。
### 4.2 直线、射线、线段
* **直线：** 向两方无限延伸，没有端点。
* **射线：** 向一方无限延伸，只有一个端点。
* **线段：** 有两个端点，可以度量。
* **线段的比较：**
* 用刻度尺量出长度进行比较。
* 用圆规截取进行比较。
* **线段的中点：** 把一条线段分成两条相等的线段的点。
### 4.3 角
* **定义：** 从一点出发的两条射线组成的图形。
* **角的度量单位：** 度、分、秒 (1° = 60′，1′ = 60″)
* **角的分类：** 锐角、直角、钝角、平角、周角
* **角的平分线：** 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
* **余角和补角：**
* **余角：** 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角。
* **补角：** 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
* **性质：** 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
### 4.4 几何体的展开图
* **了解常见几何体的展开图，如正方体、圆柱、圆锥等。**
这只是一个框架性的思维导图，具体内容可以根据需要进行更细致的补充和完善。例如，在解一元一次方程的应用题部分，可以列举更具体的例题进行分析。 在几何部分，可以增加几何体的截面等内容。
