《数与形思维导图六年级上册》
一、分数乘法
1.1 分数乘整数
- 概念： 求几个相同分数的和的简便运算。
- 计算方法： 分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的要先约分，再计算。
- 意义：
- 例如：3/5 × 3 表示 3 个 3/5 相加的和是多少。
- 也可以表示 3/5 的 3 倍是多少。
- 思维导图：
- 中心：分数乘整数
- 分支1：概念 (相同分数连加的简便运算)
- 分支2：计算方法 (分子乘整数，分母不变，约分)
- 分支3：意义 (连加，倍数)
- 分支4：应用 (解决实际问题，如求总长度、总面积等)
1.2 分数乘分数
- 概念： 表示求一个数的几分之几是多少。
- 计算方法： 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。能约分的先约分，再计算。
- 意义： 表示一个数的几分之几。例如：1/2 × 1/3 表示 1/2 的 1/3 是多少。
- 思维导图：
- 中心：分数乘分数
- 分支1：概念 (求一个数的几分之几)
- 分支2：计算方法 (分子乘分子，分母乘分母，约分)
- 分支3：意义 (部分的分数表示)
- 分支4：应用 (解决求部分量的实际问题)
1.3 倒数的认识
- 概念： 乘积是 1 的两个数互为倒数。
- 特点：
- 倒数是相互依存的，不能单独说某个数是倒数。
- 1 的倒数是 1。
- 0 没有倒数。
- 求一个数的倒数：
- 求分数的倒数：交换分子和分母的位置。
- 求整数的倒数：把整数看作分母是 1 的分数，再交换分子和分母的位置。
- 思维导图：
- 中心：倒数的认识
- 分支1：概念 (乘积为1的两个数)
- 分支2：特点 (相互依存，1的倒数是1，0无倒数)
- 分支3：求法 (分数：分子分母互换，整数：化为分数)
- 分支4：意义 (用于分数除法)
1.4 分数乘法的应用
- 解题思路：
- 找单位“1”。
- 分析数量关系。
- 列式计算。
- 常见的数量关系：
- 部分量 = 总量 × 分率
- 现在的量 = 原来的量 × (1 ± 增长/降低的分率)
- 思维导图：
- 中心：分数乘法的应用
- 分支1：单位“1”的确定
- 分支2：数量关系分析 (部分=整体×分率，现在=原来×变化)
- 分支3：列式计算
- 分支4：实际问题 (增加/减少问题，求部分量问题)
二、位置与方向（二）
2.1 确定位置
- 方法： 用数对表示位置，用方向和距离确定位置。
- 数对表示： (列，行)，先横后纵。
- 方向与距离表示： 以观测点为中心，确定目标的方向和距离。
- 思维导图：
- 中心：确定位置
- 分支1：数对表示 (列，行)
- 分支2：方向和距离表示 (观测点，方向角，比例尺)
- 分支3：地图应用 (比例尺，方向标)
- 分支4：平面图应用 (校园，小区等)
2.2 描述路线图
- 步骤：
- 确定起点和终点。
- 确定每一段的方向和距离。
- 按顺序描述。
- 注意事项： 方向要准确，距离要符合比例。
- 思维导图：
- 中心：描述路线图
- 分支1：起点和终点
- 分支2：方向和距离 (每一段)
- 分支3：描述顺序 (依次)
- 分支4：实际应用 (导航，地图解读)
三、分数除法
3.1 分数除以整数
- 计算方法： 除以一个整数等于乘这个整数的倒数。
- 注意： 当整数与分数分子能够约分时，可以先约分再计算。
- 思维导图：
- 中心：分数除以整数
- 分支1：计算方法 (乘以整数的倒数)
- 分支2：约分 (分子与整数约分)
- 分支3：意义 (平均分)
- 分支4：应用 (求平均数等)
3.2 整数除以分数
- 计算方法： 整数除以分数等于乘这个分数的倒数。
- 思维导图：
- 中心：整数除以分数
- 分支1：计算方法 (乘以分数的倒数)
- 分支2：意义 (求包含多少个这样的分数)
- 分支3：应用 (求份数等)
3.3 分数除以分数
- 计算方法： 分数除以分数等于乘除数的倒数。
- 思维导图：
- 中心：分数除以分数
- 分支1：计算方法 (乘以除数的倒数)
- 分支2：意义 (求包含多少个这样的分数)
- 分支3：应用 (比例分配，已知部分求整体)
3.4 分数除法的应用
- 解题思路：
- 找单位“1”。
- 分析数量关系。
- 列方程或算式计算。
- 常见的数量关系：
- 已知部分求整体：部分 ÷ 分率 = 整体
- 思维导图：
- 中心：分数除法的应用
- 分支1：单位“1”的确定
- 分支2：数量关系分析 (整体=部分÷分率)
- 分支3：列式计算 (方程或算式)
- 分支4：实际问题 (已知部分求整体问题)
四、比
4.1 比的意义
- 概念： 两个数相除又叫做两个数的比。
- 组成： 比的前项、比的后项、比值。
- 表示： a : b (a除以b)， a是前项，b是后项，a÷b是比值。
- 性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。
- 与除法的关系： 比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商。
- 与分数的关系： 比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值。
- 思维导图：
- 中心：比的意义
- 分支1：概念 (两数相除)
- 分支2：组成 (前项，后项，比值)
- 分支3：表示 (a:b)
- 分支4：性质 (同时乘除同一数，比值不变)
- 分支5：关系 (除法，分数)
4.2 比的应用
- 化简比： 运用比的性质，将比的前项和后项化为最简整数比。
- 按比例分配： 将一个数量按照一定的比进行分配。
- 解题思路：
- 确定总量和各部分的比。
- 求出总份数。
- 求出各部分占总量的分率。
- 用总量乘以各部分占总量的分率。
- 思维导图：
- 中心：比的应用
- 分支1：化简比 (最简整数比)
- 分支2：按比例分配 (总量，比例，总份数，分率)
- 分支3：实际问题 (分配问题)
五、圆
5.1 圆的认识
- 概念： 圆是由曲线围成的封闭图形。
- 组成：
- 圆心：圆的中心，用字母 O 表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母 r 表示。
- 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母 d 表示。
- 性质：
- 在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
- 在同一个圆里，直径是半径的 2 倍，半径是直径的 1/2，即 d = 2r，r = d/2。
- 圆的画法： 用圆规画圆。
- 思维导图：
- 中心：圆的认识
- 分支1：概念 (曲线围成)
- 分支2：组成 (圆心，半径，直径)
- 分支3：性质 (d=2r)
- 分支4：画法 (圆规)
5.2 圆的周长
- 概念： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
- 计算公式： C = πd 或 C = 2πr，其中 π ≈ 3.14。
- 意义： π 表示圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数。
- 思维导图：
- 中心：圆的周长
- 分支1：概念 (围成圆的曲线长度)
- 分支2：公式 (C=πd，C=2πr)
- 分支3：π的意义
- 分支4：应用 (求周长，解决实际问题)
5.3 圆的面积
- 概念： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。
- 计算公式： S = πr²
- 推导过程： 将圆分割成若干等份，拼成一个近似长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
- 思维导图：
- 中心：圆的面积
- 分支1：概念 (圆所占平面大小)
- 分支2：公式 (S=πr²)
- 分支3：公式推导 (分割，近似长方形)
- 分支4：应用 (求面积，解决实际问题)
5.4 扇形
- 概念： 由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
- 弧长公式： l = (n/360) × 2πr，其中 n 是圆心角的度数。
- 扇形面积公式： S = (n/360) × πr² 或 S = (1/2)lr，其中 l 是弧长。
- 思维导图：
- 中心：扇形
- 分支1：概念 (圆心角和弧围成)
- 分支2：弧长公式 (l=(n/360)×2πr)
- 分支3：面积公式 (S=(n/360)×πr², S=(1/2)lr)
- 分支4：应用 (解决相关问题)
六、百分数
6.1 百分数的意义
- 概念： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
- 表示： 用 % 表示，例如：25% 表示 25/100。
- 与分数的区别： 百分数只能表示两个数的倍比关系，不能表示一个具体的数量。
- 思维导图：
- 中心：百分数的意义
- 分支1：概念 (表示一个数是另一个数的百分之几)
- 分支2：表示 (%)
- 分支3：与分数的区别 (倍比关系，非具体数量)
- 分支4：应用 (表示增长率，及格率等)
6.2 百分数的应用
- 常见的百分率：
- 及格率 = 及格人数 ÷ 总人数 × 100%
- 出勤率 = 出勤人数 ÷ 总人数 × 100%
- 发芽率 = 发芽种子数 ÷ 种子总数 × 100%
- 折扣： 商品按照原价的百分之几出售，叫做折扣。
- 利息： 存款或贷款的利息与本金的比率叫做利率。
- 解题思路：
- 找单位“1”。
- 分析数量关系。
- 列式计算。
- 思维导图：
- 中心：百分数的应用
- 分支1：常见百分率 (及格率，出勤率，发芽率)
- 分支2：折扣
- 分支3：利息
- 分支4：解题思路 (单位“1”，数量关系)
- 分支5：实际问题 (求百分率，折扣问题，利息计算)