有理数思维导图初一第一名

# 《有理数思维导图初一第一名》

**核心概念**

*   **数系扩充：** 从自然数到有理数的扩展，引入负数和分数，扩充了数的范围，解决了实际问题中“不够减”和“不能整除”的问题。
*   **有理数的定义：** 整数和分数的统称。能够表示成 p/q (q≠0) 形式的数。
*   **分类：**
    *   **按定义分类：** 整数（正整数、零、负整数）、分数（正分数、负分数）。
    *   **按性质符号分类：** 正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）。
*   **数轴：**
    *   **三要素：** 原点、正方向、单位长度。
    *   **作用：** 直观地表示数，比较数的大小，体现数形结合的思想。
    *   **数轴上的点与有理数的对应关系：** 数轴上的每一个点都可以表示一个有理数，反之，每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

**重要性质与概念**

*   **相反数：**
    *   **定义：** 只有符号不同的两个数互为相反数。
    *   **表示：** a 的相反数是 -a。
    *   **性质：** a + (-a) = 0，数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。
    *   **特别地：** 0 的相反数是 0。
*   **绝对值：**
    *   **定义：** 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。
    *   **代数意义：**
        *   |a| = a (a ≥ 0)
        *   |a| = -a (a < 0)
    *   **几何意义：** 表示数 a 到原点的距离。
    *   **非负性：** |a| ≥ 0，绝对值最小的数是 0。
    *   **绝对值的化简：** 关键在于判断绝对值符号内的数的正负性。
*   **倒数：**
    *   **定义：** 乘积为 1 的两个数互为倒数。
    *   **表示：** a (a≠0) 的倒数是 1/a。
    *   **性质：** a * (1/a) = 1。
    *   **特别地：** 1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1，0 没有倒数。

**有理数的运算**

*   **加法：**
    *   **同号两数相加：** 取相同的符号，并把绝对值相加。
    *   **异号两数相加：** 绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    *   **一个数与 0 相加：** 仍得这个数。
    *   **加法交换律：** a + b = b + a
    *   **加法结合律：** (a + b) + c = a + (b + c)
*   **减法：**
    *   **法则：** 减去一个数，等于加上这个数的相反数。a - b = a + (-b)
*   **乘法：**
    *   **法则：** 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。
    *   **多个数相乘：** 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数有偶数个时，积为正；负因数有奇数个时，积为负。
    *   **乘法交换律：** a * b = b * a
    *   **乘法结合律：** (a * b) * c = a * (b * c)
    *   **乘法分配律：** a * (b + c) = a * b + a * c
*   **除法：**
    *   **法则：** 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。a ÷ b = a * (1/b) (b≠0)
    *   **两数相除：** 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数，都得 0。
*   **乘方：**
    *   **定义：** 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。an，其中 a 叫做底数，n 叫做指数。
    *   **幂的符号：** 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
*   **运算顺序：** 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的。同级运算，按照从左到右的顺序进行。

**科学记数法**

*   **定义：** 将一个绝对值大于 10 或小于 1 的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。
*   **确定 n 的方法：**
    *   对于绝对值大于 10 的数，n 等于原数的整数位数减 1。
    *   对于绝对值小于 1 的数，n 是一个负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个 0）。

**近似数与有效数字**

*   **近似数：** 通过四舍五入等方法得到的与准确数接近的数。
*   **有效数字：** 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
*   **精确度：** 近似数与准确数的接近程度，通常用四舍五入到哪一位来表示。例如：3.14159 精确到百分位是 3.14，精确到十分位是 3.1。

**解题技巧与注意事项**

*   **数形结合：** 借助数轴解决有关相反数、绝对值的问题。
*   **分类讨论：** 绝对值化简、有理数大小比较等问题常常需要分类讨论。
*   **整体思想：** 将一些式子看作一个整体进行运算。
*   **转化思想：** 将减法转化为加法，将除法转化为乘法。
*   **运算符号的确定：** 尤其要注意多个数相乘除时，运算符号的确定。
*   **认真审题，规范书写：** 避免因审题不清或书写错误导致失分。
*   **掌握运算律，灵活运用：** 可以简化运算过程，提高解题效率。

**与其他知识的联系**

*   **代数式：** 有理数是构成代数式的基础。
*   **方程：** 有理数的运算是解方程的基础。
*   **函数：** 学习函数需要掌握有理数的性质。

**思维导图的使用**

利用思维导图，可以将有理数的知识点系统化、条理化，便于理解和记忆。同时，可以通过思维导图进行知识的梳理和复习，提高学习效率。

# 《有理数思维导图初一第一名》 **核心概念** * **数系扩充：** 从自然数到有理数的扩展，引入负数和分数，扩充了数的范围，解决了实际问题中“不够减”和“不能整除”的问题。 * **有理数的定义：** 整数和分数的统称。能够表示成 p/q (q≠0) 形式的数。 * **分类：** * **按定义分类：** 整数（正整数、零、负整数）、分数（正分数、负分数）。 * **按性质符号分类：** 正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）。 * **数轴：** * **三要素：** 原点、正方向、单位长度。 * **作用：** 直观地表示数，比较数的大小，体现数形结合的思想。 * **数轴上的点与有理数的对应关系：** 数轴上的每一个点都可以表示一个有理数，反之，每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。 **重要性质与概念** * **相反数：** * **定义：** 只有符号不同的两个数互为相反数。 * **表示：** a 的相反数是 -a。 * **性质：** a + (-a) = 0，数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。 * **特别地：** 0 的相反数是 0。 * **绝对值：** * **定义：** 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。 * **代数意义：** * |a| = a (a ≥ 0) * |a| = -a (a < 0) * **几何意义：** 表示数 a 到原点的距离。 * **非负性：** |a| ≥ 0，绝对值最小的数是 0。 * **绝对值的化简：** 关键在于判断绝对值符号内的数的正负性。 * **倒数：** * **定义：** 乘积为 1 的两个数互为倒数。 * **表示：** a (a≠0) 的倒数是 1/a。 * **性质：** a * (1/a) = 1。 * **特别地：** 1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1，0 没有倒数。 **有理数的运算** * **加法：** * **同号两数相加：** 取相同的符号，并把绝对值相加。 * **异号两数相加：** 绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 * **一个数与 0 相加：** 仍得这个数。 * **加法交换律：** a + b = b + a * **加法结合律：** (a + b) + c = a + (b + c) * **减法：** * **法则：** 减去一个数，等于加上这个数的相反数。a - b = a + (-b) * **乘法：** * **法则：** 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。 * **多个数相乘：** 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数有偶数个时，积为正；负因数有奇数个时，积为负。 * **乘法交换律：** a * b = b * a * **乘法结合律：** (a * b) * c = a * (b * c) * **乘法分配律：** a * (b + c) = a * b + a * c * **除法：** * **法则：** 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。a ÷ b = a * (1/b) (b≠0) * **两数相除：** 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数，都得 0。 * **乘方：** * **定义：** 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。an，其中 a 叫做底数，n 叫做指数。 * **幂的符号：** 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 * **运算顺序：** 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的。同级运算，按照从左到右的顺序进行。 **科学记数法** * **定义：** 将一个绝对值大于 10 或小于 1 的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。 * **确定 n 的方法：** * 对于绝对值大于 10 的数，n 等于原数的整数位数减 1。 * 对于绝对值小于 1 的数，n 是一个负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个 0）。 **近似数与有效数字** * **近似数：** 通过四舍五入等方法得到的与准确数接近的数。 * **有效数字：** 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 * **精确度：** 近似数与准确数的接近程度，通常用四舍五入到哪一位来表示。例如：3.14159 精确到百分位是 3.14，精确到十分位是 3.1。 **解题技巧与注意事项** * **数形结合：** 借助数轴解决有关相反数、绝对值的问题。 * **分类讨论：** 绝对值化简、有理数大小比较等问题常常需要分类讨论。 * **整体思想：** 将一些式子看作一个整体进行运算。 * **转化思想：** 将减法转化为加法，将除法转化为乘法。 * **运算符号的确定：** 尤其要注意多个数相乘除时，运算符号的确定。 * **认真审题，规范书写：** 避免因审题不清或书写错误导致失分。 * **掌握运算律，灵活运用：** 可以简化运算过程，提高解题效率。 **与其他知识的联系** * **代数式：** 有理数是构成代数式的基础。 * **方程：** 有理数的运算是解方程的基础。 * **函数：** 学习函数需要掌握有理数的性质。 **思维导图的使用** 利用思维导图，可以将有理数的知识点系统化、条理化，便于理解和记忆。同时，可以通过思维导图进行知识的梳理和复习，提高学习效率。

上一个主题：西游记思维导图下一个主题：全等三角形思维导图八上

有理数思维导图初一第一名

相关思维导图推荐