《全等三角形思维导图八上》
一、全等三角形定义与性质
1.1 全等三角形的定义
- 形状相同、大小相同 的两个三角形。
- 对应边相等，对应角相等。
1.2 全等三角形的表示方法
- ≌ 符号表示全等。
- 书写顺序：对应顶点写在对应位置。 例如：△ABC ≌ △DEF (A对应D, B对应E, C对应F)
1.3 全等三角形的性质
- 对应边相等： 若△ABC ≌ △DEF，则AB=DE, BC=EF, AC=DF
- 对应角相等： 若△ABC ≌ △DEF，则∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
- 对应边上的高相等： 全等三角形对应边上的高相等。
- 对应边上的中线相等： 全等三角形对应边上的中线相等。
- 对应角的角平分线相等： 全等三角形对应角的角平分线相等。
- 周长相等： 全等三角形的周长相等。
- 面积相等： 全等三角形的面积相等。
二、全等三角形的判定方法
2.1 边角边 (SAS)
- 内容： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- 条件：
- AB = DE (边)
- ∠A = ∠D (角，必须是夹角)
- AC = DF (边)
- 结论： △ABC ≌ △DEF
2.2 角边角 (ASA)
- 内容： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- 条件：
- ∠A = ∠D (角)
- AB = DE (边，必须是夹边)
- ∠B = ∠E (角)
- 结论： △ABC ≌ △DEF
2.3 角角边 (AAS)
- 内容： 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 条件：
- ∠A = ∠D (角)
- ∠B = ∠E (角)
- BC = EF (边，是∠A或∠D的对边)
- 结论： △ABC ≌ △DEF
2.4 边边边 (SSS)
- 内容： 三边对应相等的两个三角形全等。
- 条件：
- AB = DE (边)
- BC = EF (边)
- AC = DF (边)
- 结论： △ABC ≌ △DEF
2.5 斜边、直角边 (HL)
- 适用范围： 仅适用于直角三角形。
- 内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 条件：
- AB = DE (斜边)
- AC = DF (直角边)
- 结论： Rt△ABC ≌ Rt△DEF (∠C=∠F=90°)
2.6 判定方法的选择
- 根据已知条件选择合适的判定方法。
- 注意“对应”关系，确保条件中的对应边、对应角是正确的对应关系。
- 证明时要按照“条件→结论”的逻辑顺序书写。
三、全等三角形的应用
3.1 证明线段相等
- 证明两条线段是对应边。
- 寻找中间三角形，通过全等传递线段相等的关系。
- 利用角平分线的性质、垂直平分线的性质等构造全等三角形。
3.2 证明角相等
- 证明两个角是对应角。
- 寻找中间三角形，通过全等传递角相等的关系。
- 利用等腰三角形、等边三角形的性质构造全等三角形。
3.3 证明线段之间的关系
- 证明线段的和、差、倍数等关系。
- 通过截长补短法，构造全等三角形。
- 利用中点、平行线等条件，构造全等三角形。
3.4 证明直线平行/垂直
- 证明角相等或互补，从而证明直线平行。
- 证明角为90°，从而证明直线垂直。
- 构造合适的辅助线，形成全等三角形，进而证明角的关系。
3.5 解决实际问题
- 将实际问题转化为数学问题。
- 提取题目中的已知条件，分析数量关系。
- 构造合适的图形，利用全等三角形的知识解决问题。例如：测量距离、角度等。
四、常用辅助线作法
4.1 作平行线
- 构造同位角、内错角、同旁内角。
4.2 作垂线
- 构造直角三角形，利用HL判定。
- 构造角平分线的性质。
4.3 作角平分线
- 利用角平分线的性质，构造全等三角形。
4.4 作中线
- 倍长中线，构造全等三角形。
- 利用中点，寻找全等三角形的条件。
4.5 截长补短法
- 截长： 在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明剩余部分等于另一条线段。
- 补短： 将较短的线段延长，延长部分等于另一条线段，然后证明延长后的线段等于较长的线段。
4.6 旋转变换
- 将图形绕某个点旋转，构造全等三角形。
五、易错点与注意事项
5.1 判定条件不完整
- SAS 必须是两边及其夹角。
- ASA 必须是两角及其夹边。
- AAS 必须是两角及其中一角的对边。
- 不能使用 AAA 和 SSA 作为全等三角形的判定方法。
5.2 对应关系错误
- 书写全等三角形时，务必保证对应顶点写在对应的位置。
- 证明时，注意已知条件中的对应关系。
5.3 辅助线添加不当
- 辅助线的添加要有利于构造全等三角形。
- 辅助线的添加要尽可能简化证明过程。
5.4 逻辑推理不严谨
- 证明过程要按照“条件→结论”的逻辑顺序书写。
- 要明确指出使用的判定方法及其对应条件。
5.5 忽略隐含条件
- 题目中可能存在一些隐含条件，例如公共边、公共角、对顶角等。
- 要注意挖掘这些隐含条件，为证明全等三角形提供条件。
六、总结
- 掌握全等三角形的定义、性质和判定方法是关键。
- 灵活运用辅助线作法，构造全等三角形。
- 注意逻辑推理的严谨性，避免出现错误。
- 多做练习，积累经验，提高解题能力。 全等三角形是初中几何的重要内容，需要认真学习和掌握。 通过思维导图的方式，可以将知识点系统化、条理化，方便理解和记忆。希望以上内容能帮助你更好地学习全等三角形。