《数学二次函数思维导图手抄报》
一、二次函数定义及一般形式
1.1 定义
二次函数是指形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a, b, c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。a 决定了抛物线的开口方向和开口大小，b 和 c 影响了抛物线的位置。
1.2 一般形式
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一般式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- 可以直接看出 a, b, c 的值。
- 可以方便地计算 y 轴截距： (0, c)。
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顶点式： y = a(x - h)² + k (a ≠ 0)
- 可以直接看出顶点坐标：(h, k)。
- 可以方便地确定最大值/最小值。
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交点式： y = a(x - x₁)(x - x₂) (a ≠ 0)
- 可以直接看出与 x 轴的交点坐标：(x₁, 0) 和 (x₂, 0)。
- 前提是二次函数与 x 轴有两个交点。
二、二次函数图像：抛物线
2.1 抛物线的基本性质
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开口方向：
- a > 0 时，开口向上，函数有最小值。
- a < 0 时，开口向下，函数有最大值。
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对称轴： x = -b / 2a
- 抛物线关于对称轴对称。
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顶点： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k)
- 顶点是抛物线的最高点或最低点。
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与 x 轴的交点：
- Δ = b² - 4ac > 0 时，有两个交点。
- Δ = b² - 4ac = 0 时，有一个交点 (与 x 轴相切)。
- Δ = b² - 4ac < 0 时，没有交点。
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与 y 轴的交点： (0, c)
2.2 图像绘制
- 确定开口方向： 根据 a 的符号。
- 求出对称轴： x = -b / 2a。
- 求出顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)。
- 求出与 x 轴的交点： 解方程 ax² + bx + c = 0。
- 求出与 y 轴的交点： (0, c)。
- 根据对称性绘制图像。
2.3 图像的平移和伸缩
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平移：
- 向左平移 m 个单位：y = a(x + m)² + bx + c
- 向右平移 m 个单位：y = a(x - m)² + bx + c
- 向上平移 n 个单位：y = ax² + bx + c + n
- 向下平移 n 个单位：y = ax² + bx + c - n
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伸缩： 通过改变 a 的值。
- |a| 越大，开口越小 (越窄)。
- |a| 越小，开口越大 (越宽)。
三、二次函数性质及应用
3.1 最值问题
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顶点式求最值： y = a(x - h)² + k ，当 a > 0 时，最小值为 k；当 a < 0 时，最大值为 k。此时 x = h。
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配方法求最值： 将一般式配方成顶点式，然后求最值。
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实际应用中的最值问题： 通常需要根据实际情况建立二次函数模型，然后求最值。需要注意自变量的取值范围。
3.2 与 x 轴的交点
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判别式 Δ = b² - 4ac：
- Δ > 0，有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点。
- Δ = 0，有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有一个交点 (相切)。
- Δ < 0，没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。
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韦达定理： 对于方程 ax² + bx + c = 0 的两个根 x₁ 和 x₂，有：
- x₁ + x₂ = -b / a
- x₁ * x₂ = c / a
3.3 与其他函数的关系
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与一次函数： 二次函数与一次函数可以联立方程，解出交点坐标。
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与反比例函数： 二次函数与反比例函数也可以联立方程，解出交点坐标。
3.4 实际应用
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利润最大化问题： 通过建立二次函数模型，找到最大利润。例如，定价问题，销量与价格的关系常常可以用线性函数表示，总利润是价格与销量之差的二次函数。
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面积最大化问题： 例如，用一定长度的篱笆围成一个矩形菜园，求最大面积。
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运动轨迹问题： 抛物线可以用来描述物体在重力作用下的运动轨迹。例如，投掷物体，炮弹的飞行轨迹等。
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桥梁设计： 某些桥梁的形状可以近似看作抛物线。
四、解题技巧
4.1 数形结合
- 将二次函数的问题转化为图像问题，利用图像的直观性来解决问题。
- 通过图像判断 a, b, c 的符号，以及与 x 轴的交点情况。
4.2 配方法
- 将一般式转化为顶点式，可以方便地求出顶点坐标和最值。
4.3 待定系数法
- 根据已知条件 (例如，顶点坐标，与 x 轴的交点，经过某点) 设出二次函数的形式，然后代入已知条件，解出未知系数。
4.4 分类讨论
- 在解决某些问题时，需要根据 a 的符号，Δ 的符号等进行分类讨论。
4.5 转化思想
- 将二次函数的问题转化为其他类型的函数问题，例如，一次函数，方程等。
五、常见题型
- 求二次函数的解析式。
- 求二次函数的最值。
- 判断二次函数与 x 轴的交点情况。
- 解决与二次函数相关的实际问题。
- 二次函数与其他函数的综合问题。
六、注意事项
- 注意 a ≠ 0 的前提条件。
- 理解 a, b, c 对抛物线形状和位置的影响。
- 熟练掌握各种形式的二次函数表达式。
- 注意实际问题中自变量的取值范围。
- 培养数形结合的思想，灵活运用各种解题技巧。