初一数学阅读思维导图

# 《初一数学阅读思维导图》

## 一、数与式

### 1.1 有理数

*   **概念：**
    *   正数、负数、零
    *   有理数定义：整数和分数（有限小数或无限循环小数）
*   **分类：**
    *   按性质分：正有理数、负有理数、零
    *   按定义分：整数、分数
*   **数轴：**
    *   定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线
    *   作用：直观表示数的大小，体现数形结合思想
*   **相反数：**
    *   定义：只有符号不同的两个数
    *   性质：互为相反数的两个数之和为零
*   **绝对值：**
    *   定义：数轴上表示这个数的点到原点的距离
    *   性质：非负性，|a| ≥ 0
    *   计算：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
*   **有理数的运算：**
    *   加法：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值大的数的符号为符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。
    *   减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    *   乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。
    *   除法：除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。
    *   乘方：求n个相同因数的积的运算。
    *   混合运算：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的。
*   **科学计数法：**
    *   定义：将一个绝对值大于10或小于-10的数表示成a×10^n的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。
*   **近似数：**
    *   精确度：精确到哪一位
    *   有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

### 1.2 整式

*   **代数式：**
    *   定义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。
    *   书写规范：数字在前，字母在后；相同字母写一起；乘号省略；除法用分数表示；带分数写成假分数。
*   **单项式：**
    *   定义：由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。
    *   系数：单项式中的数字因数。
    *   次数：单项式中所有字母的指数的和。
*   **多项式：**
    *   定义：几个单项式的和。
    *   项：多项式中的每个单项式。
    *   次数：多项式中次数最高的项的次数。
    *   常数项：多项式中不含字母的项。
*   **整式：**
    *   定义：单项式和多项式统称整式。
*   **同类项：**
    *   定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
    *   合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
*   **去括号与添括号：**
    *   去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“−”，把括号和它前面的“−”去掉，括号里各项都改变符号。
    *   添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“−”号，括到括号里的各项都改变符号。
*   **整式的加减：**
    *   步骤：去括号，合并同类项。

## 二、方程

### 2.1 一元一次方程

*   **方程：**
    *   定义：含有未知数的等式。
*   **方程的解：**
    *   定义：使方程左右两边相等的未知数的值。
*   **解方程：**
    *   定义：求方程的解的过程。
*   **一元一次方程：**
    *   定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。
    *   标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
*   **等式的性质：**
    *   等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
    *   等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
*   **解一元一次方程的步骤：**
    *   去分母 (若有)
    *   去括号 (若有)
    *   移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。移项要变号。
    *   合并同类项：把方程化简为 ax = b 的形式。
    *   系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。
*   **列一元一次方程解应用题：**
    *   审题：理解题意，找出已知条件和未知量。
    *   设未知数：选择适当的未知数，并用字母表示。
    *   列方程：找出等量关系，根据等量关系列出方程。
    *   解方程：求出方程的解。
    *   检验：检验方程的解是否符合题意。
    *   答：写出完整的答案。
*   **常见应用题类型：**
    *   行程问题：路程 = 速度 × 时间
    *   工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
    *   销售问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 × 100%
    *   数字问题
    *   分配问题
    *   配套问题

## 三、图形初步认识

### 3.1 几何图形

*   **立体图形：**
    *   棱柱、圆柱、圆锥、球等
*   **平面图形：**
    *   三角形、四边形、圆等
*   **点、线、面、体：**
    *   点动成线，线动成面，面动成体。

### 3.2 线段、射线、直线

*   **直线：**
    *   定义：向两方无限延伸的线。
    *   性质：两点确定一条直线。
*   **射线：**
    *   定义：直线上一点和它一旁的部分。
*   **线段：**
    *   定义：直线上两点之间的部分。
    *   线段的性质：两点之间，线段最短。
    *   线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
*   **比较线段的长短：**
    *   叠合法
    *   度量法
*   **线段的和、差、倍、分。**

### 3.3 角

*   **角的定义：**
    *   具有公共端点的两条射线组成的图形。
*   **角的表示：**
    *   用三个大写字母表示，顶点字母写中间。
    *   用一个大写字母表示（当顶点只有一个角时）。
    *   用希腊字母表示。
    *   用数字表示。
*   **角的单位：**
    *   度、分、秒
    *   1度 = 60分，1分 = 60秒
*   **角的分类：**
    *   锐角：小于90度的角。
    *   直角：等于90度的角。
    *   钝角：大于90度，小于180度的角。
    *   平角：等于180度的角。
    *   周角：等于360度的角。
*   **角的平分线：**
    *   从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
*   **角的度量与计算：**
    *   角的加减运算。
*   **余角和补角：**
    *   互余：两个角的和等于90度。
    *   互补：两个角的和等于180度。
    *   性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。

## 四、 数据整理与初步分析

### 4.1 数据的收集

*   **调查方式：**
    *   普查：考察全体对象
    *   抽样调查：抽取部分对象
*   **抽样的注意事项：**
    *   样本具有代表性
    *   样本容量适当
*   **问卷设计：**
    *   问题明确、简洁
    *   选项完整、互斥

### 4.2 数据的整理与表示

*   **频数分布表：**
    *   分组、统计各组数据的个数
*   **统计图：**
    *   条形统计图：表示各组数据的数量
    *   折线统计图：表示数据的变化趋势
    *   扇形统计图：表示各部分占总体的百分比

### 4.3 数据的简单分析

*   **平均数：**
    *   算术平均数：所有数据的和除以数据的个数
*   **众数：**
    *   一组数据中出现次数最多的数据
*   **中位数：**
    *   将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据（或中间两个数据的平均数）。
*   **数据分析的意义：**
    *   了解数据的分布情况
    *   发现数据的规律
    *   为决策提供依据

# 《初一数学阅读思维导图》 ## 一、数与式 ### 1.1 有理数 * **概念：** * 正数、负数、零 * 有理数定义：整数和分数（有限小数或无限循环小数） * **分类：** * 按性质分：正有理数、负有理数、零 * 按定义分：整数、分数 * **数轴：** * 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 * 作用：直观表示数的大小，体现数形结合思想 * **相反数：** * 定义：只有符号不同的两个数 * 性质：互为相反数的两个数之和为零 * **绝对值：** * 定义：数轴上表示这个数的点到原点的距离 * 性质：非负性，|a| ≥ 0 * 计算：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 * **有理数的运算：** * 加法：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值大的数的符号为符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。 * 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 * 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。 * 除法：除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。 * 乘方：求n个相同因数的积的运算。 * 混合运算：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的。 * **科学计数法：** * 定义：将一个绝对值大于10或小于-10的数表示成a×10^n的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。 * **近似数：** * 精确度：精确到哪一位 * 有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。 ### 1.2 整式 * **代数式：** * 定义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。 * 书写规范：数字在前，字母在后；相同字母写一起；乘号省略；除法用分数表示；带分数写成假分数。 * **单项式：** * 定义：由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。 * 系数：单项式中的数字因数。 * 次数：单项式中所有字母的指数的和。 * **多项式：** * 定义：几个单项式的和。 * 项：多项式中的每个单项式。 * 次数：多项式中次数最高的项的次数。 * 常数项：多项式中不含字母的项。 * **整式：** * 定义：单项式和多项式统称整式。 * **同类项：** * 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 * 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 * **去括号与添括号：** * 去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“−”，把括号和它前面的“−”去掉，括号里各项都改变符号。 * 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“−”号，括到括号里的各项都改变符号。 * **整式的加减：** * 步骤：去括号，合并同类项。 ## 二、方程 ### 2.1 一元一次方程 * **方程：** * 定义：含有未知数的等式。 * **方程的解：** * 定义：使方程左右两边相等的未知数的值。 * **解方程：** * 定义：求方程的解的过程。 * **一元一次方程：** * 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。 * 标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0) * **等式的性质：** * 等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 * 等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 * **解一元一次方程的步骤：** * 去分母 (若有) * 去括号 (若有) * 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。移项要变号。 * 合并同类项：把方程化简为 ax = b 的形式。 * 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 * **列一元一次方程解应用题：** * 审题：理解题意，找出已知条件和未知量。 * 设未知数：选择适当的未知数，并用字母表示。 * 列方程：找出等量关系，根据等量关系列出方程。 * 解方程：求出方程的解。 * 检验：检验方程的解是否符合题意。 * 答：写出完整的答案。 * **常见应用题类型：** * 行程问题：路程 = 速度 × 时间 * 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 * 销售问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 × 100% * 数字问题 * 分配问题 * 配套问题 ## 三、图形初步认识 ### 3.1 几何图形 * **立体图形：** * 棱柱、圆柱、圆锥、球等 * **平面图形：** * 三角形、四边形、圆等 * **点、线、面、体：** * 点动成线，线动成面，面动成体。 ### 3.2 线段、射线、直线 * **直线：** * 定义：向两方无限延伸的线。 * 性质：两点确定一条直线。 * **射线：** * 定义：直线上一点和它一旁的部分。 * **线段：** * 定义：直线上两点之间的部分。 * 线段的性质：两点之间，线段最短。 * 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。 * **比较线段的长短：** * 叠合法 * 度量法 * **线段的和、差、倍、分。** ### 3.3 角 * **角的定义：** * 具有公共端点的两条射线组成的图形。 * **角的表示：** * 用三个大写字母表示，顶点字母写中间。 * 用一个大写字母表示（当顶点只有一个角时）。 * 用希腊字母表示。 * 用数字表示。 * **角的单位：** * 度、分、秒 * 1度 = 60分，1分 = 60秒 * **角的分类：** * 锐角：小于90度的角。 * 直角：等于90度的角。 * 钝角：大于90度，小于180度的角。 * 平角：等于180度的角。 * 周角：等于360度的角。 * **角的平分线：** * 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。 * **角的度量与计算：** * 角的加减运算。 * **余角和补角：** * 互余：两个角的和等于90度。 * 互补：两个角的和等于180度。 * 性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 ## 四、数据整理与初步分析 ### 4.1 数据的收集 * **调查方式：** * 普查：考察全体对象 * 抽样调查：抽取部分对象 * **抽样的注意事项：** * 样本具有代表性 * 样本容量适当 * **问卷设计：** * 问题明确、简洁 * 选项完整、互斥 ### 4.2 数据的整理与表示 * **频数分布表：** * 分组、统计各组数据的个数 * **统计图：** * 条形统计图：表示各组数据的数量 * 折线统计图：表示数据的变化趋势 * 扇形统计图：表示各部分占总体的百分比 ### 4.3 数据的简单分析 * **平均数：** * 算术平均数：所有数据的和除以数据的个数 * **众数：** * 一组数据中出现次数最多的数据 * **中位数：** * 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据（或中间两个数据的平均数）。 * **数据分析的意义：** * 了解数据的分布情况 * 发现数据的规律 * 为决策提供依据

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