《初一数学阅读思维导图》
一、数与式
1.1 有理数
- 概念：
- 正数、负数、零
- 有理数定义：整数和分数（有限小数或无限循环小数）
- 分类：
- 按性质分：正有理数、负有理数、零
- 按定义分：整数、分数
- 数轴：
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线
- 作用：直观表示数的大小，体现数形结合思想
- 相反数：
- 定义：只有符号不同的两个数
- 性质：互为相反数的两个数之和为零
- 绝对值：
- 定义：数轴上表示这个数的点到原点的距离
- 性质：非负性，|a| ≥ 0
- 计算：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
- 有理数的运算：
- 加法：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值大的数的符号为符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。
- 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。
- 除法：除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。
- 乘方：求n个相同因数的积的运算。
- 混合运算：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的。
- 科学计数法：
- 定义：将一个绝对值大于10或小于-10的数表示成a×10^n的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。
- 近似数：
- 精确度：精确到哪一位
- 有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
1.2 整式
- 代数式：
- 定义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。
- 书写规范：数字在前，字母在后；相同字母写一起；乘号省略；除法用分数表示；带分数写成假分数。
- 单项式：
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和。
- 多项式：
- 定义：几个单项式的和。
- 项：多项式中的每个单项式。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 常数项：多项式中不含字母的项。
- 整式：
- 定义：单项式和多项式统称整式。
- 同类项：
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
- 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
- 去括号与添括号：
- 去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“−”，把括号和它前面的“−”去掉，括号里各项都改变符号。
- 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“−”号，括到括号里的各项都改变符号。
- 整式的加减：
- 步骤：去括号，合并同类项。
二、方程
2.1 一元一次方程
- 方程：
- 定义：含有未知数的等式。
- 方程的解：
- 定义：使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程：
- 定义：求方程的解的过程。
- 一元一次方程：
- 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。
- 标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
- 等式的性质：
- 等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
- 等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
- 解一元一次方程的步骤：
- 去分母 (若有)
- 去括号 (若有)
- 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。移项要变号。
- 合并同类项：把方程化简为 ax = b 的形式。
- 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。
- 列一元一次方程解应用题：
- 审题：理解题意，找出已知条件和未知量。
- 设未知数：选择适当的未知数，并用字母表示。
- 列方程：找出等量关系，根据等量关系列出方程。
- 解方程：求出方程的解。
- 检验：检验方程的解是否符合题意。
- 答：写出完整的答案。
- 常见应用题类型：
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 销售问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 × 100%
- 数字问题
- 分配问题
- 配套问题
三、图形初步认识
3.1 几何图形
- 立体图形：
- 棱柱、圆柱、圆锥、球等
- 平面图形：
- 三角形、四边形、圆等
- 点、线、面、体：
- 点动成线，线动成面，面动成体。
3.2 线段、射线、直线
- 直线：
- 定义：向两方无限延伸的线。
- 性质：两点确定一条直线。
- 射线：
- 定义：直线上一点和它一旁的部分。
- 线段：
- 定义：直线上两点之间的部分。
- 线段的性质：两点之间，线段最短。
- 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
- 比较线段的长短：
- 叠合法
- 度量法
- 线段的和、差、倍、分。
3.3 角
- 角的定义：
- 具有公共端点的两条射线组成的图形。
- 角的表示：
- 用三个大写字母表示，顶点字母写中间。
- 用一个大写字母表示（当顶点只有一个角时）。
- 用希腊字母表示。
- 用数字表示。
- 角的单位：
- 度、分、秒
- 1度 = 60分，1分 = 60秒
- 角的分类：
- 锐角：小于90度的角。
- 直角：等于90度的角。
- 钝角：大于90度，小于180度的角。
- 平角：等于180度的角。
- 周角：等于360度的角。
- 角的平分线：
- 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
- 角的度量与计算：
- 角的加减运算。
- 余角和补角：
- 互余：两个角的和等于90度。
- 互补：两个角的和等于180度。
- 性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
四、 数据整理与初步分析
4.1 数据的收集
- 调查方式：
- 普查：考察全体对象
- 抽样调查：抽取部分对象
- 抽样的注意事项：
- 样本具有代表性
- 样本容量适当
- 问卷设计：
- 问题明确、简洁
- 选项完整、互斥
4.2 数据的整理与表示
- 频数分布表：
- 分组、统计各组数据的个数
- 统计图：
- 条形统计图：表示各组数据的数量
- 折线统计图：表示数据的变化趋势
- 扇形统计图：表示各部分占总体的百分比
4.3 数据的简单分析
- 平均数：
- 算术平均数：所有数据的和除以数据的个数
- 众数：
- 一组数据中出现次数最多的数据
- 中位数：
- 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据（或中间两个数据的平均数）。
- 数据分析的意义：
- 了解数据的分布情况
- 发现数据的规律
- 为决策提供依据