《初一数学章节思维导图》

一、有理数

1.1 正数与负数

• 概念：
  • 正数：大于0的数
  • 负数：小于0的数
  • 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点
    • 表示：
  • 正数：+号（可以省略）
  • 负数：-号
    • 实际意义：表示具有相反意义的量 (收入/支出，增加/减少，上升/下降，盈利/亏损等)
    • 例子：海拔，温度，收支

1.2 有理数

• 定义：整数和分数的统称
  • 分类：
    • 按定义分：
      • 有理数
        • 整数
          • 正整数
          • 0
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
    • 按正负分：
      • 有理数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 0
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
  • 注意：无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不属于有理数。

1.3 数轴

• 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
  • 三要素：原点、正方向、单位长度 (缺一不可)
  • 作用：
    • 直观地表示数
    • 比较大小
  • 画法：
    • 画直线
    • 确定原点
    • 确定正方向
    • 选取单位长度
  • 注意：数轴上的点与有理数并非一一对应，只有有理数才能在数轴上找到唯一对应的点。

1.4 绝对值

• 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
  • 性质：
    • |a| ≥ 0 （非负性）
    • 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
  • 求法：
    • a > 0，|a| = a
    • a = 0，|a| = 0
    • a < 0，|a| = -a
  • 化简：绝对值符号里含有未知数，需要分类讨论

1.5 有理数的大小比较

• 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 法则：
    • 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
    • 两个负数，绝对值大的反而小。

1.6 有理数的加法

• 法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
    • 运算律：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

1.7 有理数的减法

• 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)

1.8 有理数的乘法

• 法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
    • 运算律：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

1.9 有理数的除法

• 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。

1.10 有理数的乘方

• 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。记作aⁿ，读作a的n次方（或a的n次幂）。
  • 幂：乘方的结果叫做幂。
  • 底数：a叫做底数。
  • 指数：n叫做指数。
  • 符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。

1.11 科学计数法

• 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数。
  • n的确定：n等于原数的整数位数减1。

1.12 近似数与有效数字

• 近似数：与准确数很接近的数，叫做近似数。
  • 精确度：近似数与准确数的接近程度，通常用精确到哪一位来表示。
  • 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

1.13 有理数的混合运算

• 运算顺序：
  • 先乘方，再乘除，最后加减；
  • 同级运算，从左到右进行；
  • 如有括号，先算括号内的，按照先小括号、再中括号、后大括号的顺序进行。

二、代数式

2.1 用字母表示数

• 意义：简化数量关系，使表达更具有一般性。

2.2 代数式

• 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。
  • 单独的一个数或一个字母也是代数式。
  • 书写规范：
    • 数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略。
    • 字母与字母相乘，字母按字母表顺序排列。
    • 带分数写成假分数。
    • 除法运算写成分数形式。

2.3 代数式的值

• 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。
  • 求代数式的值：
    • 先代入：将字母的值代入代数式。
    • 后计算：按照运算顺序计算。

2.4 整式

• 单项式：
  • 定义：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。
  • 系数：单项式中的数字因数。
  • 次数：单项式中所有字母的指数的和。
    • 多项式：
  • 定义：几个单项式的和组成的代数式。
  • 项：多项式中的每个单项式。
  • 常数项：不含字母的项。
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数。
    • 整式：单项式和多项式的统称。

2.5 同类项

• 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
  • 判断：
    • 字母相同
    • 相同字母的指数相同
    • 与系数无关
    • 与字母的顺序无关

2.6 合并同类项

• 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
  • 步骤：
    • 找：找出同类项。
    • 搬：把同类项移到一起（带着符号）。
    • 合：合并同类项。
    • 写：写出合并后的结果。

2.7 去括号与添括号

• 去括号法则：
  • 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。
  • 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
    • 添括号法则：
  • 添括号后，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号。
  • 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.8 整式的加减

• 步骤：
  • 去括号
  • 合并同类项

三、一元一次方程

3.1 等式及其性质

• 等式：用“=”连接的表示相等关系的式子。
  • 性质：
    • 等式两边加（或减）同一个数或同一个式子，结果仍相等。
    • 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.2 方程的有关概念

• 方程：含有未知数的等式。
  • 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。
  • 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
  • 解方程：求方程解的过程。

3.3 解一元一次方程

• 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
  • 合并同类项：把含有未知数的项合并为一项。
  • 系数化为1：方程两边都除以未知数的系数。

3.4 一元一次方程的应用

• 审题：理解题意，弄清题中的数量关系。

  • 设未知数：设未知数为x，并用含x的代数式表示相关的量。

  • 列方程：根据题中的数量关系列出方程。

  • 解方程：解所列的方程，求出未知数的值。

  • 检验：检验方程的解是否符合题意。

  • 答：写出答案。

  • 常见类型：

    • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
    • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
    • 利润问题：利润 = 售价 - 成本
    • 储蓄问题
    • 分配问题
    • 数字问题

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