五年级数学分数思维导图

# 《五年级数学分数思维导图》

## 一、 分数的意义与性质

*   **1. 分数的意义**
    *   **定义：** 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
    *   **单位“1”：** 一个物体，一个计量单位，一个整体。
    *   **分数单位：** 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。例如，1/5 的分数单位是 1/5。
    *   **真分数：** 分子小于分母的分数（真分数 < 1）。
    *   **假分数：** 分子大于或等于分母的分数（假分数 ≥ 1）。
    *   **带分数：** 整数和真分数合成的数（带分数 > 1）。
    *   **互化：** 假分数可以化成带分数或整数，带分数可以化成假分数。

*   **2. 分数与除法的关系**
    *   **关系：** a ÷ b = a/b (b≠0)
    *   **意义：** 分数线相当于除号，分子相当于被除数，分母相当于除数。
    *   **应用：** 可以用分数表示除法的商，解决实际问题。

*   **3. 分数的性质**
    *   **基本性质：** 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
    *   **应用：** 约分、通分。

*   **4. 约分**
    *   **定义：** 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数。
    *   **方法：** 用分子和分母的公因数（最大公因数）去除分数的分子和分母。
    *   **最简分数：** 分子和分母只有公因数1的分数。

*   **5. 通分**
    *   **定义：** 把几个分母不相同的分数化成与它们分别相等，且分母相同的分数。
    *   **方法：** 找出各分母的最小公倍数，把各分数分别化成分母是最小公倍数的分数。
    *   **最小公倍数作为公分母：** 保证通分后的分数最简便。

*   **6. 分数的大小比较**
    *   **同分母分数：** 分子大的分数大。
    *   **同分子分数：** 分母小的分数大。
    *   **异分母分数：** 先通分，化成同分母分数，再比较分子的大小。
    *   **与1比较：** 比1大的分数大，比1小的分数小。
    *   **借助中间数比较：** 例如，比较两个分数与1/2的大小关系。

## 二、 分数的运算

*   **1. 分数加减法**
    *   **同分母分数加减法：** 分母不变，分子相加减。
    *   **异分母分数加减法：** 先通分，化成同分母分数，再进行加减运算。
    *   **带分数加减法：** 整数部分和分数部分分别相加减，注意进位和退位。
    *   **混合运算：** 按照运算顺序进行计算，有括号的先算括号里面的。
    *   **简便运算：** 运用加法交换律、结合律等简化计算。

*   **2. 分数乘法**
    *   **分数乘整数：** 分子与整数相乘，分母不变。
    *   **分数乘分数：** 分子乘分子，分母乘分母。
    *   **计算结果：** 能约分的要约分。
    *   **乘法意义：** 求一个数的几分之几是多少。
    *   **简便运算：** 运用乘法交换律、结合律、分配律等简化计算。

*   **3. 分数除法**
    *   **倒数：** 乘积是1的两个数互为倒数。
    *   **求一个数的倒数：** 将这个数的分子、分母颠倒位置。1的倒数是1, 0没有倒数。
    *   **分数除以整数：** 等于分数乘以整数的倒数。
    *   **分数除以分数：** 等于分数乘以除数的倒数。
    *   **除法意义：** 已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。也可以理解为求一个数是另一个数的几倍，或者把一个数平均分成几份，求一份是多少。
    *   **简便运算：** 运用除法的性质简化计算。

*   **4. 分数混合运算**
    *   **运算顺序：** 先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
    *   **简便运算：** 灵活运用运算定律，进行简便计算。
    *   **解决问题：** 分析题意，理清数量关系，列出综合算式解答。

## 三、 分数应用题

*   **1. 求一个数的几分之几是多少**
    *   **方法：** 用乘法计算。
    *   **公式：** 所求量 = 总量 × 分率

*   **2. 求一个数是另一个数的几分之几**
    *   **方法：** 用除法计算。
    *   **公式：** 分率 = 部分量 ÷ 总量

*   **3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数**
    *   **方法：** 用除法计算，或者列方程解答。
    *   **公式：** 总量 = 部分量 ÷ 分率

*   **4. 稍复杂的分数应用题**
    *   **关键：** 找准单位“1”，理清数量关系。
    *   **方法：** 画线段图辅助分析，用方程或算术方法解答。
    *   **类型：**
        *   连续求一个数的几分之几。
        *   含有两个或两个以上分率的应用题。
        *   归一问题、归总问题。

*   **5. 工程问题**
    *   **特点：** 把总工作量看作单位“1”。
    *   **公式：** 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间； 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率； 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
    *   **合作问题：** 合作效率是各单独工作效率之和。

*   **6. 比的应用**
    *   **按比例分配：** 把一个数量按照一定的比分成若干份。
    *   **比例尺：** 图上距离与实际距离的比。

## 四、 易错点总结

*   **1. 混淆分数的意义和分数单位：** 分数的意义是指将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；分数单位是指把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
*   **2. 没有正确理解约分和通分：** 约分是化简分数，通分是化异分母分数为同分母分数。
*   **3. 分数加减法没有先通分：** 异分母分数加减法必须先通分。
*   **4. 分数乘法没有约分到最简：** 计算结果必须是最简分数。
*   **5. 分数除法忘记将除数变成倒数：** 分数除法是乘以除数的倒数。
*   **6. 应用题中找错单位“1”：** 找准单位“1”是解决分数应用题的关键。
*   **7. 计算时出现抄错数字、运算符号等低级错误：** 计算时要认真仔细。
*   **8. 没有认真审题，导致计算结果与题意不符：** 仔细审题，理解题意。
*   **9. 没有掌握常见的数量关系式：** 例如，速度、时间、路程的关系等。
*   **10. 缺乏验算的习惯：** 养成验算的习惯，可以减少错误。

# 《五年级数学分数思维导图》 ## 一、分数的意义与性质 * **1. 分数的意义** * **定义：** 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。 * **单位“1”：** 一个物体，一个计量单位，一个整体。 * **分数单位：** 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。例如，1/5 的分数单位是 1/5。 * **真分数：** 分子小于分母的分数（真分数 < 1）。 * **假分数：** 分子大于或等于分母的分数（假分数 ≥ 1）。 * **带分数：** 整数和真分数合成的数（带分数 > 1）。 * **互化：** 假分数可以化成带分数或整数，带分数可以化成假分数。 * **2. 分数与除法的关系** * **关系：** a ÷ b = a/b (b≠0) * **意义：** 分数线相当于除号，分子相当于被除数，分母相当于除数。 * **应用：** 可以用分数表示除法的商，解决实际问题。 * **3. 分数的性质** * **基本性质：** 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 * **应用：** 约分、通分。 * **4. 约分** * **定义：** 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数。 * **方法：** 用分子和分母的公因数（最大公因数）去除分数的分子和分母。 * **最简分数：** 分子和分母只有公因数1的分数。 * **5. 通分** * **定义：** 把几个分母不相同的分数化成与它们分别相等，且分母相同的分数。 * **方法：** 找出各分母的最小公倍数，把各分数分别化成分母是最小公倍数的分数。 * **最小公倍数作为公分母：** 保证通分后的分数最简便。 * **6. 分数的大小比较** * **同分母分数：** 分子大的分数大。 * **同分子分数：** 分母小的分数大。 * **异分母分数：** 先通分，化成同分母分数，再比较分子的大小。 * **与1比较：** 比1大的分数大，比1小的分数小。 * **借助中间数比较：** 例如，比较两个分数与1/2的大小关系。 ## 二、分数的运算 * **1. 分数加减法** * **同分母分数加减法：** 分母不变，分子相加减。 * **异分母分数加减法：** 先通分，化成同分母分数，再进行加减运算。 * **带分数加减法：** 整数部分和分数部分分别相加减，注意进位和退位。 * **混合运算：** 按照运算顺序进行计算，有括号的先算括号里面的。 * **简便运算：** 运用加法交换律、结合律等简化计算。 * **2. 分数乘法** * **分数乘整数：** 分子与整数相乘，分母不变。 * **分数乘分数：** 分子乘分子，分母乘分母。 * **计算结果：** 能约分的要约分。 * **乘法意义：** 求一个数的几分之几是多少。 * **简便运算：** 运用乘法交换律、结合律、分配律等简化计算。 * **3. 分数除法** * **倒数：** 乘积是1的两个数互为倒数。 * **求一个数的倒数：** 将这个数的分子、分母颠倒位置。1的倒数是1, 0没有倒数。 * **分数除以整数：** 等于分数乘以整数的倒数。 * **分数除以分数：** 等于分数乘以除数的倒数。 * **除法意义：** 已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。也可以理解为求一个数是另一个数的几倍，或者把一个数平均分成几份，求一份是多少。 * **简便运算：** 运用除法的性质简化计算。 * **4. 分数混合运算** * **运算顺序：** 先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。 * **简便运算：** 灵活运用运算定律，进行简便计算。 * **解决问题：** 分析题意，理清数量关系，列出综合算式解答。 ## 三、分数应用题 * **1. 求一个数的几分之几是多少** * **方法：** 用乘法计算。 * **公式：** 所求量 = 总量 × 分率 * **2. 求一个数是另一个数的几分之几** * **方法：** 用除法计算。 * **公式：** 分率 = 部分量 ÷ 总量 * **3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数** * **方法：** 用除法计算，或者列方程解答。 * **公式：** 总量 = 部分量 ÷ 分率 * **4. 稍复杂的分数应用题** * **关键：** 找准单位“1”，理清数量关系。 * **方法：** 画线段图辅助分析，用方程或算术方法解答。 * **类型：** * 连续求一个数的几分之几。 * 含有两个或两个以上分率的应用题。 * 归一问题、归总问题。 * **5. 工程问题** * **特点：** 把总工作量看作单位“1”。 * **公式：** 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间；工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率；工作总量 = 工作效率 × 工作时间 * **合作问题：** 合作效率是各单独工作效率之和。 * **6. 比的应用** * **按比例分配：** 把一个数量按照一定的比分成若干份。 * **比例尺：** 图上距离与实际距离的比。 ## 四、易错点总结 * **1. 混淆分数的意义和分数单位：** 分数的意义是指将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；分数单位是指把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。 * **2. 没有正确理解约分和通分：** 约分是化简分数，通分是化异分母分数为同分母分数。 * **3. 分数加减法没有先通分：** 异分母分数加减法必须先通分。 * **4. 分数乘法没有约分到最简：** 计算结果必须是最简分数。 * **5. 分数除法忘记将除数变成倒数：** 分数除法是乘以除数的倒数。 * **6. 应用题中找错单位“1”：** 找准单位“1”是解决分数应用题的关键。 * **7. 计算时出现抄错数字、运算符号等低级错误：** 计算时要认真仔细。 * **8. 没有认真审题，导致计算结果与题意不符：** 仔细审题，理解题意。 * **9. 没有掌握常见的数量关系式：** 例如，速度、时间、路程的关系等。 * **10. 缺乏验算的习惯：** 养成验算的习惯，可以减少错误。

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