《二次函数的思维导图九年级上册》

一、 二次函数的定义与图像

1.1 定义

• 一般形式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 定义域： 全体实数
• 关键条件： a ≠ 0，确定是“二次”函数
• a、b、c 的作用： 决定图像形状、开口方向、对称轴位置等

1.2 图像：抛物线

• 形状： 抛物线（开口向上或向下）
• 对称轴： 直线 x = -b / 2a
• 顶点： 坐标为 (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)，是抛物线的最高点或最低点
• 开口方向：
  • a > 0，开口向上，有最小值
  • a < 0，开口向下，有最大值
• 与y轴的交点： (0, c)
• 与x轴的交点： 即方程 ax² + bx + c = 0 的解，也称抛物线的零点

1.3 顶点式

• 形式： y = a(x - h)² + k
• 顶点： (h, k)
• 优势： 直接读出顶点坐标，方便求解最大值/最小值问题

1.4 交点式

• 形式： y = a(x - x₁) (x - x₂)
• x₁, x₂： 抛物线与 x 轴的两个交点，即方程 ax² + bx + c = 0 的两个根
• 优势： 已知与x轴交点坐标，直接写出解析式

二、 二次函数的性质

2.1 开口方向与 a 的关系

• a > 0： 开口向上，图像下凸，在对称轴左侧，y随x减小而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大；有最小值。
• a < 0： 开口向下，图像上凸，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x减小而减小；有最大值。
• |a| 大小： |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.2 对称轴与 b/a 的关系

• 对称轴方程： x = -b / 2a
• 确定对称轴位置： 通过 b/a 的符号来确定对称轴在y轴的左侧还是右侧：
  • a, b 同号，对称轴在 y 轴左侧
  • a, b 异号，对称轴在 y 轴右侧
  • b = 0，对称轴为 y 轴

2.3 顶点与最大/最小值

• 顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k)
• a > 0： 顶点为抛物线最低点，y 有最小值 (4ac - b²) / 4a 或 k
• a < 0： 顶点为抛物线最高点，y 有最大值 (4ac - b²) / 4a 或 k
• 求最值： 配方法、公式法、图像法

2.4 增减性

• a > 0： 在对称轴左侧，y随x减小而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。
• a < 0： 在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x减小而减小。
• 应用： 结合定义域，确定函数在特定区间内的增减性。

三、 二次函数与方程、不等式

3.1 与一元二次方程的关系

• 方程 ax² + bx + c = 0 的解： 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴的交点的横坐标
• 判别式 Δ = b² - 4ac：
  • Δ > 0，有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点
  • Δ = 0，有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有一个交点（相切）
  • Δ < 0，没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点

3.2 与不等式的关系

• 解不等式 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0： 转化为求抛物线 y = ax² + bx + c 在 x 轴上方或下方对应的 x 的取值范围
• 结合图像： 根据抛物线与 x 轴的交点和开口方向，确定不等式的解集

3.3 根的判别式应用

• 已知根的范围，求参数范围： 利用 Δ ≥ 0 保证有根，再结合根与系数的关系、函数图像等性质，建立关于参数的不等式。
• 存在性问题： 判断是否存在满足条件的根，转化为求参数范围。

四、 二次函数的应用

4.1 实际问题

• 建立模型： 将实际问题转化为二次函数模型，确定变量关系，列出函数解析式
• 解决问题： 利用二次函数的性质，如求最大值/最小值、对称轴、交点等，解决实际问题（例如：利润最大化、面积最大化、路径最短等）
• 建模步骤：
  1. 阅读理解，明确题意。
  2. 建立坐标系，确定函数类型。
  3. 列出函数解析式。
  4. 分析函数性质，求解问题。
  5. 检验作答，回归实际。

4.2 几何问题

• 坐标系中的几何图形： 将几何图形放在坐标系中，利用二次函数解决几何问题（例如：求线段长度、面积、角度等）
• 综合应用： 结合相似三角形、勾股定理、三角函数等知识，解决复杂的几何问题。

五、 常用解题方法

5.1 配方法

• 目的： 将一般式转化为顶点式，方便求顶点坐标和最大值/最小值。
• 步骤：
  1. 提取二次项系数。
  2. 括号内配方。
  3. 整理成顶点式。

5.2 公式法

• 直接使用公式： 顶点坐标公式、对称轴公式、求根公式等。

5.3 图像法

• 画出函数图像： 通过图像直观地观察函数的性质，例如增减性、最值、与 x 轴的交点等。
• 数形结合： 结合图像和代数方法，解决问题。

5.4 分类讨论

• 针对不同情况： 根据 a 的符号、Δ 的符号、对称轴的位置等，进行分类讨论。
• 避免漏解： 确保考虑到所有可能的情况。

六、 易错点

6.1 忽视 a ≠ 0 的条件

• 二次函数的定义： 必须满足 a ≠ 0，否则不是二次函数。

6.2 对称轴和顶点位置混淆

• 对称轴是直线： x = -b / 2a
• 顶点是点： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)

6.3 忽略实际问题中的定义域

• 实际问题： 变量的取值范围可能有限制，需要根据实际情况确定定义域。

6.4 解不等式时忘记考虑 a 的符号

• a > 0： 抛物线开口向上
• a < 0： 抛物线开口向下
• 影响不等式的解集： a 的符号决定了抛物线在 x 轴上方或下方对应的 x 的取值范围。

6.5 顶点式、交点式应用不熟练

• 灵活选择适当的解析式： 根据已知条件，选择合适的解析式，可以简化解题过程。