《六年级上册青岛版数学第一单元分数乘法的思维导图》

中心主题：分数乘法

一级分支：意义与计算

• 二级分支：分数乘整数

  • 三级分支：意义
    • 解释：求几个相同分数和的简便运算。
    • 例子：例如，3个1/4相加，可以写成1/4 × 3。
  • 三级分支：计算方法
    • 规则：分子与整数相乘，分母不变。
    • 公式：（a/b）× c = (a × c) / b
    • 注意：计算结果能约分的要约成最简分数。
  • 三级分支：实际应用
    • 例子：一袋面粉重5/2千克，3袋面粉重多少千克？(5/2) × 3 = 15/2 (千克)

• 二级分支：分数乘分数

  • 三级分支：意义
    • 解释：求一个数的几分之几是多少。
    • 例子：例如，1/2的1/3是多少，可以写成1/2 × 1/3。
  • 三级分支：计算方法
    • 规则：分子与分子相乘，分母与分母相乘。
    • 公式：（a/b）× (c/d) = (a × c) / (b × d)
    • 强调：能约分的先约分，再计算，可以简化计算过程。
  • 三级分支：实际应用
    • 例子：一块地有2/3公顷，其中1/4种蔬菜，蔬菜占多少公顷？ (2/3) × (1/4) = 1/6 (公顷)

• 二级分支：积与因数的关系

  • 三级分支：一个因数大于1
    • 结论：积大于另一个因数。
    • 例子： 1/2 × 2 = 1， 1 > 1/2
  • 三级分支：一个因数等于1
    • 结论：积等于另一个因数。
    • 例子： 1/2 × 1 = 1/2
  • 三级分支：一个因数小于1
    • 结论：积小于另一个因数。
    • 例子： 1/2 × 1/3 = 1/6， 1/6 < 1/2

一级分支：倒数

• 二级分支：定义
  • 解释：乘积是1的两个数互为倒数。
  • 关键：互为倒数，必须是两个数之间的关系，不能单独说某个数是倒数。
• 二级分支：求倒数的方法
  • 三级分支：求分数的倒数
    • 方法：交换分子和分母的位置。
    • 例子：3/5的倒数是5/3。
  • 三级分支：求整数的倒数
    • 方法：将整数看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置。
    • 例子：7的倒数是1/7。
  • 三级分支：求小数的倒数
    • 方法：将小数化成分数，再交换分子和分母的位置。
    • 例子：0.2 = 1/5， 0.2的倒数是5/1。
  • 三级分支：求带分数的倒数
    • 方法：将带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置。
    • 例子：1 1/2 = 3/2， 1 1/2的倒数是2/3。
• 二级分支：特殊数的倒数
  • 结论：1的倒数是1，0没有倒数。
  • 解释：0不能做除数，所以没有意义。

一级分支：混合运算和简便计算

• 二级分支：运算顺序
  • 规则：先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。
  • 强调：与整数混合运算顺序相同。
• 二级分支：简便计算
  • 三级分支：乘法交换律
    • 公式：a × b = b × a
    • 例子： 1/2 × 1/3 × 6 = 1/2 × 6 × 1/3
  • 三级分支：乘法结合律
    • 公式：（a × b）× c = a × (b × c)
    • 例子：（1/2 × 1/3）× 6 = 1/2 × (1/3 × 6)
  • 三级分支：乘法分配律
    • 公式：（a + b）× c = a × c + b × c
    • 例子：（1/2 + 1/3）× 6 = 1/2 × 6 + 1/3 × 6
  • 三级分支：提取公因数
    • 原理：逆用乘法分配律。
    • 例子： 1/4 × 5 + 1/4 × 3 = 1/4 × (5 + 3)

一级分支：解决问题

• 二级分支：求一个数的几分之几是多少

  • 分析：把总数看作单位“1”，用乘法计算。
  • 例子：一本书有120页，看了2/3，看了多少页？ 120 × (2/3) = 80 (页)

• 二级分支：稍复杂的分数乘法问题

  • 分析：找准单位“1”，分析数量关系，列方程或用算术方法解决。
  • 例子：果园里有苹果树80棵，梨树的棵数是苹果树的3/4，又是桃树的2/3，桃树有多少棵？
    • 算术方法： 80 × (3/4) ÷ (2/3) = 90 (棵)
    • 方程方法： 设桃树有x棵。 (2/3)x = 80 × (3/4), 解得x = 90

• 二级分支：连乘问题

  • 分析：理清各部分之间的关系， 确定先求什么，再求什么，最终求出所求问题。
  • 例子：某工厂生产一批零件，第一天生产了总数的1/3，第二天生产的是第一天的2/5，第二天生产零件的数量是总数的几分之几？
    • 解答： (1/3) × (2/5) = 2/15

一级分支：易错点与注意事项

• 二级分支：计算方面
  • 约分时要约到最简分数。
  • 计算过程中注意运算顺序，尤其是有括号的情况。
  • 进行简便计算时，要仔细观察数字特点，灵活运用运算定律。
• 二级分支：应用题方面
  • 找准单位“1”，正确分析数量关系。
  • 区分求一个数的几分之几是多少与已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
  • 单位问题，注意最终结果带上正确的单位。
• 二级分支：倒数方面
  • 0没有倒数，1的倒数是1。
  • 带分数、小数求倒数时，先化为分数再求倒数。
  • 倒数是对两个数来说的，单独一个数不能叫倒数。