《数学思维导图六年级上》

一、 数与代数

1. 分数乘法

1.1 分数乘整数

• 意义：求几个相同分数的和的简便运算。
• 计算方法：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
• 化简：计算结果能约分的要约成最简分数。

1.2 分数乘分数

• 意义：求一个数的几分之几是多少。
• 计算方法：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。
• 化简：计算过程能约分的先约分，再计算；结果要约成最简分数。

1.3 倒数的认识

• 意义：乘积是1的两个数互为倒数。
• 求一个数的倒数：
  • 分数：分子分母颠倒位置。
  • 整数：看作分母是1的分数，再颠倒位置。
  • 小数：先化成分数，再颠倒位置。
• 特殊情况：
  • 1的倒数是1。
  • 0没有倒数。
• 关系：倒数是一种相互依存的关系，不能单独说一个数是倒数。

1.4 解决问题

• 类型：求一个数的几分之几是多少。
• 方法：找准单位“1”，分析数量关系，确定用乘法计算。
• 模型：单位“1”的量 × 所占的几分之几 = 所求的量

2. 分数除法

2.1 分数除以整数

• 意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 计算方法：除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。

2.2 整数除以分数

• 意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 计算方法：除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。

2.3 分数除以分数

• 意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 计算方法：除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。

2.4 比

• 意义：两个数相除又叫做两个数的比。
• 各部分名称：
  • 前项：比号前面的数。
  • 比号：两个点（:）
  • 后项：比号后面的数。
  • 比值：前项除以后项所得的商。
• 比与除法、分数的关系：
  • 比的前项相当于除法的被除数，分数的分子。
  • 比的后项相当于除法的除数，分数的分母。
  • 比值相当于除法的商，分数的分数值。
• 化简比：
  • 整数比：前项后项同时除以它们的最大公因数。
  • 分数比：前项后项同时乘以它们分母的最小公倍数，化成整数比再化简。
  • 小数比：前项后项同时乘以10、100、1000……，化成整数比再化简。

2.5 解决问题

• 类型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
• 方法：找准单位“1”，分析数量关系，确定用除法计算。
• 模型：所求的量 × 所占的几分之几 = 已知的量

3. 百分数

3.1 百分数的意义

• 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
• 特点：
  • 表示的是两个数的倍比关系，不带单位名称。
  • 意义：表达一个数占另一个数的比例。
• 百分数与分数的区别与联系：
  • 区别：百分数只能表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量。分数既可以表示两个数的倍比关系，也可以表示具体的数量。
  • 联系：两者都可以表示两个数的倍比关系。

3.2 百分数与小数、分数的互化

• 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位。
• 小数化百分数：小数点向右移动两位，同时添上百分号。
• 百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，再化简。
• 分数化百分数：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。

3.3 解决问题

• 常见百分率：
  • 合格率 = 合格产品数 ÷ 产品总数 × 100%
  • 发芽率 = 发芽种子数 ÷ 种子总数 × 100%
  • 出勤率 = 出勤人数 ÷ 应出勤人数 × 100%
  • 成活率 = 成活棵数 ÷ 种植总棵数 × 100%
• 利润与折扣问题
  • 利润 = 售价 - 成本
  • 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%
  • 折扣 = 现价 ÷ 原价
  • 原价 = 现价 ÷ 折扣
  • 现价 = 原价 × 折扣

二、 空间与图形

1. 位置与方向（二）

• 方向的描述：
  • 以观测点为中心，先确定方向，再确定距离。
  • 方向的相对性：一个物体的位置可以用不同的方向来描述，但是方向总是相对的。
• 绘制路线图：
  • 确定观测点。
  • 确定方向和距离。
  • 按照一定的比例尺绘制。

2. 圆

2.1 圆的认识

• 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
• 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。
• 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，通常用字母d表示。
• 关系：d = 2r r = d/2
• 特点：
  • 在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
  • 在同一个圆里，直径是半径的2倍，半径是直径的一半。
• 圆的画法：
  • 固定圆规针尖。
  • 调整圆规两脚之间的距离，即半径。
  • 旋转一周。

2.2 圆的周长

• 意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
• 计算公式：
  • C = πd
  • C = 2πr
• π（圆周率）：表示圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，通常取近似值3.14。

2.3 圆的面积

• 意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
• 计算公式：S = πr²

2.4 扇形

• 定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
• 弧：圆上任意两点间的部分。

三、 统计与概率

1. 扇形统计图

• 定义：用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比的统计图。
• 特点：
  • 能够清楚地表示各部分数量占总数的百分比。
  • 能够反映部分与整体之间的关系。
• 绘制扇形统计图的步骤：
  • 计算各部分数量占总数的百分比。
  • 计算各部分扇形的圆心角。
  • 按照百分比或圆心角的大小，画出扇形。
  • 标注各部分名称和百分比。

四、 数学广角

1. 鸡兔同笼

• 常用解题方法：
  • 假设法：假设全是鸡或全是兔，再进行调整。
  • 方程法：设鸡或兔的数量为未知数，列方程解答。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 七上生物第一单元思维导图