《必修一数学思维导图》
一、 集合
1.1 集合的概念与运算
1.1.1 集合的含义与表示
- 集合的概念：
- 定义：一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
- 元素：集合中的每个对象称为该集合的元素。
- 元素的特性：确定性、互异性、无序性。
- 集合的表示方法：
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征来描述。
- 韦恩图法：用封闭曲线的内部表示集合。
- 常用数集及其记法：
- 自然数集：N
- 正整数集：N*或N+
- 整数集：Z
- 有理数集：Q
- 实数集：R
1.1.2 集合的基本关系
- 子集： 若集合A中的每一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B 或 B⊇A。
- 真子集： 若A⊆B，且存在B中的元素不在A中，则A是B的真子集，记作A⫋B 或 B⫌A。
- 空集： 不含任何元素的集合，记作∅。 ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
- 集合相等： 若A⊆B且B⊆A，则A=B。
- 子集个数： 对于包含n个元素的集合，其子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1，非空子集个数为2ⁿ-1，非空真子集个数为2ⁿ-2。
1.1.3 集合的基本运算
- 并集： 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B。 A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
- 交集： 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作A∩B。 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
- 补集： 由所有属于全集U但不属于集合A的元素组成的集合，记作∁ᵤA。 ∁ᵤA = {x | x∈U 且 x∉A}
- 集合运算的性质：
- 交换律：A∪B = B∪A， A∩B = B∩A
- 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
- 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
- 摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = (∁ᵤA)∩(∁ᵤB)， ∁ᵤ(A∩B) = (∁ᵤA)∪(∁ᵤB)
二、 函数概念与基本初等函数(I)
2.1 函数的概念与表示
2.1.1 函数的概念
- 定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x), x∈A。
- 定义域： 集合A叫做函数的定义域。
- 值域： {f(x)| x∈A} 叫做函数的值域。
- 函数的三要素： 定义域、对应关系、值域。 (定义域和对应关系确定后，值域唯一确定)
2.1.2 函数的表示方法
- 解析法： 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
- 图像法： 用图像表示两个变量之间的对应关系。
- 列表法： 通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
2.1.3 函数的图像
- 定义： 在平面直角坐标系中，以函数y=f(x), x∈A中的x为横坐标，f(x)为纵坐标的点(x, f(x))的集合，就是函数y=f(x)的图像。
- 图像的绘制： 描点法、图像变换。
- 图像的应用： 求函数的值域、判断函数的性质、解决方程根的问题。
2.2 函数的性质
2.2.1 函数的单调性
- 单调增函数： 在定义域内，如果对于任意的x₁, x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁) < f(x₂)，那么就说f(x)是增函数。
- 单调减函数： 在定义域内，如果对于任意的x₁, x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁) > f(x₂)，那么就说f(x)是减函数。
- 单调区间： 函数的单调递增或递减的区间。
- 证明函数单调性的步骤：
- 设：在给定区间内任取两个变量x₁，x₂，且x₁<x₂。
- 作差：f(x₁) - f(x₂) 或 f(x₂)- f(x₁)
- 变形：化简差式，通常进行因式分解或配方。
- 定号：确定差式的符号。
- 结论：根据差式的符号得出结论。
2.2.2 函数的奇偶性
- 偶函数： 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)，那么就说f(x)是偶函数。 偶函数图像关于y轴对称。
- 奇函数： 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，那么就说f(x)是奇函数。 奇函数图像关于原点对称。
- 奇偶函数的性质：
- 如果f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0) = 0。
- 偶函数+偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×奇函数=奇函数。
- 判断函数奇偶性的步骤：
- 判断定义域是否关于原点对称。
- 计算f(-x)。
- 判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。
- 得出结论。
2.3 基本初等函数(I)
2.3.1 指数函数
- 定义： 函数y=aˣ (a>0且a≠1) 叫做指数函数。
- 图像： 根据a>1和0<a<1分为两类。
- 性质：
- 定义域：R
- 值域：(0, +∞)
- 过定点(0, 1)
- 单调性：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
2.3.2 对数函数
- 定义： 函数y=logₐx (a>0且a≠1) 叫做对数函数。
- 图像： 根据a>1和0<a<1分为两类。
- 性质：
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：R
- 过定点(1, 0)
- 单调性：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
2.3.3 幂函数
- 定义： 函数y=xᵃ (α∈R) 叫做幂函数。
- 图像与性质： 根据α的不同取值，图像和性质有所不同，需分别掌握。
- α=1：正比例函数
- α=2：二次函数
- α=3：三次函数
- α=-1：反比例函数
- α=1/2: y = √x
2.3.4 函数的应用
- 方程的根与函数的零点： 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。
- 用二分法求方程的近似解。
- 函数模型的应用： 解决实际问题。
三、总结
必修一数学主要围绕集合与函数展开，是高中数学学习的基础。务必掌握集合的基本概念和运算，熟练掌握函数的三要素，理解函数的性质，并能灵活运用基本初等函数解决问题。 通过理解和应用这些概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。