《导数思维导图》

一、导数概念与定义

• 核心概念： 变化率、切线斜率
• 定义：
  • 平均变化率： Δy/Δx = (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx
  • 瞬时变化率（导数）： f'(x₀) = lim(Δx→0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx
  • 导函数： f'(x) = lim(Δx→0) (f(x + Δx) - f(x))/Δx
• 几何意义： 曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率 k = f'(x₀)
• 物理意义： 瞬时速度、加速度等
• 可导性与连续性的关系：
  • 可导必连续，连续不一定可导。
  • 在某点可导，则在该点一定连续。
• 单侧导数：
  • 左导数： f'₋(x₀) = lim(Δx→0⁻) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx
  • 右导数： f'₊(x₀) = lim(Δx→0⁺) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx
  • 在 x₀ 处可导 ⇔ 左导数 = 右导数

二、导数的计算

• 基本初等函数的导数公式：
  • (C)' = 0 (C为常数)
  • (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ (n ∈ R)
  • (sinx)' = cosx
  • (cosx)' = -sinx
  • (eˣ)' = eˣ
  • (aˣ)' = aˣlna
  • (lnx)' = 1/x
  • (logₐx)' = 1/(xlna)
• 导数的运算法则：
  • (u(x) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x)
  • (Cu(x))' = Cu'(x) (C为常数)
  • (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • (u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v(x))² (v(x) ≠ 0)
• 复合函数的导数（链式法则）：
  • y = f(u), u = g(x) => dy/dx = dy/du du/dx = f'(u) g'(x)
• 隐函数的导数：
  • 对隐函数方程两边同时求导，利用链式法则，将 y 看作 x 的函数。
• 参数方程的导数：
  • x = φ(t), y = ψ(t) => dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = ψ'(t) / φ'(t) (φ'(t) ≠ 0)
• 高阶导数：
  • 二阶导数：f''(x) = (f'(x))'
  • n阶导数：f⁽ⁿ⁾(x) = (f⁽ⁿ⁻¹⁾(x))'

三、导数的应用

• 判断函数的单调性：
  • f'(x) > 0 => f(x) 单调递增
  • f'(x) < 0 => f(x) 单调递减
  • f'(x) = 0 => f(x) 可能取得极值
• 求函数的极值与最值：
  • 极值：
    • 必要条件：f'(x₀) = 0
    • 充分条件：
      • 若 f'(x₀) = 0，且 f''(x₀) > 0，则 f(x₀) 为极小值。
      • 若 f'(x₀) = 0，且 f''(x₀) < 0，则 f(x₀) 为极大值。
      • 若 f'(x) 在 x₀ 两侧符号相反，也可判断极值。
  • 最值：
    • 求出函数在区间内的极值点。
    • 求出函数在区间端点的值。
    • 比较极值点和端点的值，最大（小）者为最大（小）值。
• 求函数的切线方程：
  • 已知切点 (x₀, f(x₀))，斜率 k = f'(x₀)，则切线方程为 y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)
• 求解不等式问题：
  • 构造函数，利用导数判断单调性，进而解决不等式问题。
• 证明不等式：
  • 构造函数，利用导数判断单调性或求最值，进而证明不等式。
• 研究函数图像：
  • 利用导数分析函数的单调性、极值、凹凸性，从而绘制函数图像。
• 求曲线的弧长：
  • 参数方程形式： L = ∫[a, b] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt
• 与方程根的问题：
  • 利用导数分析函数图像，判断方程根的个数及分布。
• 实际应用问题（优化问题）：
  • 建立函数关系式，利用导数求最值，解决实际问题，如成本最低、利润最大等。
• 凹凸性与拐点：
  • f''(x) > 0，函数图像为凹；f''(x) < 0，函数图像为凸。
  • 拐点：f''(x) = 0，且在拐点两侧 f''(x) 符号相反。

四、常见题型与解题策略

• 基础题： 求导数、求切线方程。
• 中等题： 利用导数判断单调性、求极值与最值、证明不等式。
• 难题： 综合运用导数知识，解决复杂函数问题、不等式问题、实际应用问题。
• 解题策略：
  • 明确题意，选择合适的导数公式和运算法则。
  • 注意复合函数、隐函数、参数方程的求导方法。
  • 熟练掌握导数与函数单调性、极值、最值之间的关系。
  • 构造合适的函数，利用导数解决不等式问题。
  • 注意分类讨论思想和数形结合思想的应用。
  • 善于总结解题经验，提高解题效率。

五、需要注意的细节

• 导数存在的条件。
• 端点效应（求最值时要考虑端点）。
• 导数为零的点不一定是极值点。
• 定义域优先原则。
• 注意验证结果的合理性。
• 关注题目中的隐含条件。
• 提高计算能力，避免计算错误。

这份思维导图涵盖了导数的核心概念、计算方法和应用，旨在帮助系统地复习和掌握导数知识，提高解题能力。