《数与代数的思维导图五上》
一、小数乘法
1.1 小数乘整数
- 概念: 将小数转化为整数计算，再将积缩小相应倍数。
- 计算方法:
- 按照整数乘法的法则计算。
- 确定积的小数位数：因数中小数位数的总和。
- 从积的右边起，数出相应位数点上小数点。
- 易错点:
- 忘记点小数点或者小数点位置错误。
- 末尾的“0”的处理：先计算，再根据小数的性质去掉末尾的“0”。
- 应用: 解决生活中的实际问题，例如计算总价、面积等。
1.2 小数乘小数
- 概念: 扩展小数乘整数的概念，两个因数都是小数的情况。
- 计算方法:
- 按照整数乘法的法则计算。
- 确定积的小数位数：两个因数的小数位数之和。
- 从积的右边起，数出相应位数点上小数点。
- 规律: 一个数（非0）乘大于1的数，积比原来的数大；乘小于1的数，积比原来的数小。
- 积的近似数: 根据要求保留指定位数，用“四舍五入”法取近似值。
- 易错点:
- 小数点位数的确定。
- 计算过程中容易出现错误，需要仔细检查。
- 近似数保留位数时，容易出错。
- 应用: 涉及两个小数数量关系的实际问题，例如计算面积、体积、费用等。
1.3 乘法运算定律的推广
- 内容: 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数乘法同样适用。
- 交换律: a × b = b × a
- 结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
- 作用: 简化计算，提高计算效率。
- 运用技巧: 观察数据特点，灵活运用运算定律进行简算。
- 易错点:
- 混淆运算定律的应用条件。
- 分配律的反向运用不够熟练。
- 应用: 在复杂的计算中灵活运用，使计算简便。
二、小数除法
2.1 除数是整数的小数除法
- 概念: 类似于整数除法，只是被除数是小数。
- 计算方法:
- 按照整数除法的法则计算。
- 商的小数点要与被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 易错点:
- 小数点位置的确定。
- 余数添0继续除法。
- 应用: 解决平均分的问题。
2.2 除数是小数的小数除法
- 概念: 将除数转化为整数，再进行计算。
- 计算方法:
- 根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 关键: 除数的小数点移动几位，被除数的小数点也移动几位，位数不够的，用“0”补足。
- 易错点:
- 忘记移动被除数的小数点。
- 移动小数点时位数不够的处理。
- 应用: 解决单位价格的问题，以及涉及除数是小数的实际问题。
2.3 商的近似数
- 概念: 在实际生活中，有时不需要求出精确的商，只需要求出商的近似数。
- 取近似数的方法: “四舍五入”法、进一法、去尾法。
- 注意: 根据实际情况选择合适的方法。
- 循环小数: 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 有限小数: 小数部分的位数是有限的小数（或者整数）。
- 无限小数: 小数部分的位数是无限的小数。 循环小数是无限小数。
- 易错点:
- 分不清循环小数和无限小数。
- 忘记根据实际情况选择取近似数的方法。
- 应用: 在解决实际问题时，根据需要求商的近似值。
2.4 循环小数
- 定义: 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 循环节: 循环小数中重复出现的数字。
- 表示方法: 在循环节的首位和末位数字上面点上圆点。
- 易错点:
- 找错循环节。
- 循环节的点的位置错误。
- 应用: 了解循环小数的特点。
2.5 用计算器探索规律
- 目的: 培养学生的观察、分析和归纳能力。
- 方法: 运用计算器计算，观察计算结果，发现规律。
- 应用: 利用规律解决问题。
2.6 解决问题
- 方法: 分析数量关系，选择合适的计算方法。
- 步骤:
- 认真读题，理解题意。
- 分析数量关系，找出已知条件和所求问题。
- 列式计算，求出答案。
- 检验答案是否合理。
- 易错点:
- 审题不清，理解错误题意。
- 数量关系分析错误。
- 应用: 灵活运用小数乘除法的知识解决实际问题。
三、简易方程
3.1 用字母表示数
- 意义: 用字母表示数可以简明地表达数量、数量关系、运算定律和计算公式。
- 书写规范:
- 数字和字母相乘，乘号可以省略，数字写在字母前面。
- 字母和字母相乘，乘号可以省略。
- 1和字母相乘，1可以省略不写。
- 易错点:
- 数字和字母相乘时，数字的位置。
- 1和字母相乘时，1的处理。
- 应用: 简化表达方式，便于理解和运用。
3.2 方程的意义
- 定义: 含有未知数的等式叫做方程。
- 等式: 表示相等关系的式子。
- 判断是否为方程:
- 必须是等式。
- 必须含有未知数。
- 易错点: 混淆等式和方程的概念。
- 应用: 认识方程，为解方程打下基础。
3.3 解方程
- 定义: 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程的依据: 等式的基本性质。
- 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
- 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
- 书写格式:
- “=”号对齐。
- 每一步都要根据等式的性质进行变形。
- 易错点:
- 忘记检验方程的解是否正确。
- 等式性质运用错误。
- 应用: 求解含有未知数的方程。
3.4 列方程解决问题
- 步骤:
- 弄清题意，找出未知数，用x表示。
- 分析、找出数量之间的相等关系，列方程。
- 解方程。
- 检验，写出答案。
- 关键: 找出题目中的等量关系。
- 常见等量关系:
- 和差关系：a + b = c
- 倍数关系：a × b = c
- 行程问题：速度 × 时间 = 路程
- 易错点:
- 找不到正确的等量关系。
- 列方程时，未知数的位置错误。
- 应用: 运用方程的思想解决实际问题。
四、多边形的面积
4.1 平行四边形的面积
- 公式: 面积 = 底 × 高 (S = ah)
- 推导过程: 将平行四边形转化为长方形，利用长方形的面积公式推导得出。
- 注意: 底和高必须对应。
- 易错点: 混淆底和高，计算时使用错误的数值。
- 应用: 计算平行四边形的面积。
4.2 三角形的面积
- 公式: 面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
- 推导过程: 将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，利用平行四边形的面积公式推导得出。
- 注意: 底和高必须对应。
- 易错点: 忘记除以2。
- 应用: 计算三角形的面积。
4.3 梯形的面积
- 公式: 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
- 推导过程: 将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，利用平行四边形的面积公式推导得出。
- 注意: 上底、下底和高必须对应。
- 易错点: 混淆上底和下底，或者忘记除以2。
- 应用: 计算梯形的面积。
4.4 组合图形的面积
- 方法: 将组合图形分割成几个简单的图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形），分别计算出各个简单图形的面积，再求和。
- 思路: 分割法、添补法。
- 易错点: 分割或添补后，计算相关长度时容易出错。
- 应用: 计算复杂的图形的面积。
- 技巧: 选择合适的分割方法，使计算更简便。